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Vollständige Induktion bei Ungleichungen

Schüler Universitäre Hochschule, 13. Klassenstufe

Tags: Vollständig Induktion

anonymous

15:14 Uhr, 07.11.2013

Folgende Aufgabe:

Betrachten Sie die Ungleichung

\frac{1}{2^{n}} \leq \frac{1}{n^{2} + 1}

Zeigen Sie mit Hilfe vollständige Induktion, dass diese Ungleichung für alle

n ε ℕ

richtig ist. Für welche

n ε ℕ

kann man die "Vererblichkeit" zeigen?

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}_

Also durch das Aufstellen einer Tabelle habe ich jetzt schon einmal heraus gefunden, dass diese Ungleichung nur gilt bei

1 \leq n \leq 4

.

Meine Frage wäre jetzt, ist das dann überhaupt noch zu beweisen? Weil den ersten Schritt den Induktionsanfang würde ich ja dann trotzdem mit

n = 1

wählen.

Und meine nächste Frage wäre wie ich es Beweise. Evtl. einen Ansatz?

Ich habe im Internet bisher nur Aufgaben gefunden, bei denen

n

größer sein muss.

Z . B

n \geq 4

. Wo ich dann als Induktionsanfang einfach die vier wähle. Ich weiß nicht wie ich in diesem Fall vorgehen muss.
Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

15:18 Uhr, 07.11.2013

Hallo,

"Also durch das Aufstellen einer Tabelle habe ich jetzt schon einmal heraus gefunden, dass diese Ungleichung nur gilt bei 1≤n≤4."

Wenn ich

n = 5

einsetze, erhalte ich

\frac{1}{2^{5}} = \frac{1}{32}

und

\frac{1}{5^{2} + 1} = \frac{1}{26}

und ich denke, dass

\frac{1}{32} < \frac{1}{26}

und damit auch

\frac{1}{2^{5}} \leq \frac{1}{5^{2} + 1} . .

anonymous

15:27 Uhr, 07.11.2013

Shit genau falsch gelöst. Danke. Also wenn ich

2; 3

und 4 einsetze ist die Zahl jeweils größer. Wenn Sobald ich die 5 einsetze ist die bedingung erfüllt. Sie ist allerdings auch bei 1 erfüllt. In dem fall kommt da nämlich

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

raus. Vlt ein Ansatz wie es weiter geht. Ich würde jetzt trotzdem den Induktionsanfang mit 1 wählen?

Und dann vielleicht den Induktionsschritt mit

1 + 4

? Nur so eine Idee....

Bummerang

15:30 Uhr, 07.11.2013

Hallo,

Du musst natürlich den Induktionsanfang bei

n = 4

wählen! Für die

n < 4

musst Du dann (ausserhalb des Induktionsbeweises!) durch Einsetzen zeigen, dass die Behauptung gilt bzw. dass sie nicht gilt!

anonymous

15:35 Uhr, 07.11.2013

Okay. Induktionsanfang bei 4.

Allerdings steht in der Aufgabe zwischen den beiden Thermen das Rechenzeichen

\leq

. Also ist gleich. Und das wäre ja bei der 1 erfüllt.

Sprich ich hätte dann

\frac{1}{2^{1}} \leq \frac{1}{1^{2} + 1}

\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}

Bedingung wäre also für

n = 1

erfüllt. Wie soll ich dann beweisen, dass die Bedingung bei

n < 4

nicht erfüllt ist?

Soll nicht blöd klingen aber das blicke ich noch nicht.

Vielen Dank auf jeden Fall.

Bummerang

15:39 Uhr, 07.11.2013

Hallo,

"Wie soll ich dann beweisen, dass die Bedingung bei

n < 4

nicht erfüllt ist?"

wer lesen kann, ist immer im Vorteil:

"Für die

n < 4

musst Du dann (ausserhalb des Induktionsbeweises!) durch Einsetzen zeigen, dass die Behauptung gilt bzw. dass sie nicht gilt!"

anonymous

15:58 Uhr, 07.11.2013

Okay stimme ich dir zu!

Rückfrage zu dieser Aussage von dir.

"Du musst natürlich den Induktionsanfang bei

n = 4

wählen!"

Muss ich nicht den Induktionsanfang bei 5 wählen, da die Bedingung bei 5 ja erst erfüllt ist.

Bummerang

16:00 Uhr, 07.11.2013

Hallo,

richtig, Schusselfehler von mir!

anonymous

17:44 Uhr, 07.11.2013

Okay dann steht es jetzt

2 : 1

.

Also wie besprochen habe ich jetzt als Induktionsanfang die 5. Dann bekomme ich also

\frac{1}{2^{5}} \leq \frac{1}{5^{2} + 1}

Als Induktionsvoraussetzung nehme ich also

\frac{1}{2^{n}} \leq \frac{1}{n^{2} + 1}

Als nächstes folgt der Induktionsschritt.

n \mapsto n + 1

und bekomme dann:

\frac{1}{2^{(n + 1)}} \leq \frac{1}{{(n + 1)}^{2} + 1}

Ich habe jetzt folgenden Term aufgestellt um das ganze zu beweisen:

\frac{1}{2^{(n + 1)}} = \frac{1}{2 \cdot 2^{n}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{n}} \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^{2} + 1} = \frac{1}{2 n^{2} + 2} = \frac{1}{n^{2} + n \cdot n + 2} \leq \frac{1}{n^{2} + 2 \cdot n + 2} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2} + 1}

Ich weiß allerdings nicht wie ich damit weiter komme. Irgendwo habe ich glaube ich auch einen Rechenfehler. Weil wenn ich für diesen Teil vom Beweis

\frac{1}{n^{2} + n \cdot n + 2} \leq \frac{1}{n^{2} + 2 \cdot n + 2}

jetzt

n = 2

annehme komme ich auf dasselbe Ergebnis. Hast du vielleicht noch einen Tipp?

Danke.

Bummerang

18:20 Uhr, 07.11.2013

Hallo,

"Ich weiß allerdings nicht wie ich damit weiter komme." - Wo willst Du denn noch hin? Links steht der linke Term der Induktionsbehauptung, rechts der rechte und dazwischen nur Gleichheitszeichen und genau das Relationszeichen aus der Induktionsbehauptung. Da ist nichts mehr zu tun!

Wie kannst Du im Induktionsbeweis

n = 2

einsetzen? Dein Induktionsanfang ist

n = 5

und die Induktionsvoraussetzung gilt demzufolge für ein

n \geq 5!

anonymous

18:24 Uhr, 07.11.2013

Naja ich dachte ich könnte das vielleicht noch etwas verschönern bzw. es noch mehr verdeutliche, dass es wirklich kleiner ist. Kein Plan zum Beispiel die 1 überm Bruchstrich oder so wegbekommen. Zu der 2 okay soweit so gut. Aber eigentlich sollte es doch nur dann noch für die 1 gelten. Warum kommme ich nun mit der 2 auch auf dasselbe Ergebnis?

Du meinst also das ist so in Ordnung?

Vielen Dank.

Bummerang

10:49 Uhr, 08.11.2013

Hallo,

die gesamte Abschätzung funktioniert ab dem Moment, wo die Induktionsvoraussetzung benutzt wurde, nur noch für die

n,

die durch Induktionsanfang

(n = 5)

und Induktionsschritt

(n \to n + 1)

vorgegeben sind:

n \geq 5

(könnte ja auch im Induktionsschritt

n \to n - 1

lauten, dann wären es

n \leq 5!)

. Dass zwischendurch benutzte Abschätzungen auch für einen größeren Kreis gelten, ist dabei irrelevant! Nur, wenn zwischendurch benutzte Abschätzungen für einen kleineren Kreis gelten, dann muss man den Induktionsanfang noch mal neu machen und die "rausgefallenen n" separat beweisen, genauso wie man das hier mit der 1 ja sowieso schon macht!

anonymous

16:32 Uhr, 08.11.2013

Okay da es an Schusseligkeit jetzt wahrscheinlich

4 : 1

steht geb ich dir mal ne positive Bewertung. Vielen Dank!

anonymous

16:34 Uhr, 08.11.2013

Nochmal mit Bewertung.

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