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Vollständige Induktion bei rekursiver Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Monotonie, Rekursion, Vollständig Induktion

RockoTheRocko aktiv_icon

17:38 Uhr, 30.12.2020

Sei k ≥ 2 eine natürliche Zahl und a > 0 eine reelle Zahl. Sei x0 > 0 eine reelle Zahl und

(X_{n}) n \in

ℕ

und n>0 rekursiv definiert durch:

X_{n + 1} = \frac{1}{K} . ((K - 1) . X_{n} + \frac{a}{X_{n}^{K - 1}})

Also Ziel ist es, zu beweisen, dass die Folge monoton fällt. Das bedeutet, ich muss beweisen, dass

X_{n + 1} \leq X_{n}

für alle n ∈

ℕ

gilt. Beweise dieser Art würde ich normalerweise per vollständiger Induktion beweisen.

Problem ist, ich komm schon beim Induktionsanfang nicht weiter und kann mir den Induktionsschritt auch nicht so recht vorstellen. Ich glaub das problem ist, dass hier so viele Variablen drin sind..

Induktionsanfang:

Sei n=2

Dann muss

X_{2 + 1} = X_{3} < = X_{2}

gelten.

Also:

X_{3} = \frac{1}{K} . ((K - 1) . X_{2} + \frac{a}{X_{2}^{K - 1}}) < = X_{2} = \frac{1}{K} . ((K - 1) . X_{1} + \frac{a}{X_{1}^{K - 1}})

Jetzt komm ich nicht weiter. Vorallem wegen

a

und

K

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

18:46 Uhr, 30.12.2020

.
wau !

" Sei

k

≥ 2 eine natürliche Zahl "

\to

wird Klein

\to k

nachher in der Formel erwachsen und gross?

und:

" Sei

x 0 > 0

eine reelle Zahl "

\to

wo, bitte, kommt dieses kleine

x

mit dem grossen 0 nachher denn überhaupt vor ?.. :-)

?->

. .

RockoTheRocko aktiv_icon

19:16 Uhr, 30.12.2020

Jo sorry waren Tippfehler. Müsste natürlich K≥ 2 und

X_{0} > 0

heißen.

rundblick aktiv_icon

14:33 Uhr, 31.12.2020

.
"

. .

. Müsste natürlich

. .

X_{0} > 0

heißen. "

Jo sorry , aber da stimmt halt immer noch was nicht so toll,denn:
siehe:

"(Xn)n∈ ℕ und

n > 0

rekursiv definiert durch:

\to X_{n + 1} = \frac{1}{K} \cdot ((K - 1) \cdot X_{n} + \frac{a}{X_{n}^{K - 1}})

" .. also

\to X_{n + 1} = \frac{K - 1}{K} X_{n} + \frac{a}{K} \cdot X_{n}^{1 - K}

diese "Rekursionsformel" soll für

\to n > 0

gelten?! also bräuchte es auf der rechten Seite
erst mal einen bekannten/gegebenen Anfangswert

X_{1} . .

. und den hast du nicht ..
und die Info für

X_{0}

wäre daher eh belanglos/unbrauchbar..

?!..

nebenbei:
wie lange wird es noch gehen, bis du auf die glorreiche Idee kommen wirst, vom Aufgabentext
das Original (möglichst vollständig und richtig) zu veröffentlichen ? :-)
.

pwmeyer aktiv_icon

16:58 Uhr, 31.12.2020

Hallo,

Rundblick, wenn Du jetzt durch Deine Rechnung neue Fehler einbringst, können wir leicht in eine endlose Fehler-Rekursion geraten

...

. ;-)

Wie ich das sehe: Wenn man die Rekursion mit

x_{0} > 0

startet - also die Rekursionsvorschrift für

n \in ℕ \cup {0} -

verwendet, ist der erste Schritte je nachdem nicht monoton fallend, die Monotonie stellt sich erst ab dem zweiten Schritt ein.

Um die ganze Sache zu durchschauen und zu bearbeiten, würde ich eine Kurvendiskussion machen für

f (x) = \frac{1}{k} \cdot ((k - 1) \cdot x + \frac{a}{x^{k - 1}})

und den Graphen zusammen mit der Winkelhalbierenden skizzieren.

Gruß pwm

rundblick aktiv_icon

17:24 Uhr, 31.12.2020

.
"..wenn Du jetzt durch Deine Rechnung neue Fehler einbringst.."

danke für den Hinweis - ich habe den blödsinnigen Ausmultiplikations-Fehler oben korrigiert :-)
Am Grundproblem der fragwürdigen Aufgabenstellung ändert sich eh nichts.
.

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