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Vollständige Induktion bei unendlichen(?) Summen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Beweis durch vollständig Induktion, Vollständig Induktion

livurr aktiv_icon

11:18 Uhr, 13.01.2025

Hallo, ich benötige ein wenig Hilfe mit dem Ansatz für die vollständige Induktion bei diesem Aufgabentyp. Folgende Punkte verstehe ich leider nicht so ganz:

1)

Wo ist der Induktionsanfang? Immer die 1 einsetzen wenn nichts weiteres gegeben ist?

2)

Wie beweist man Aufgabenteil

a), c)

sind es "unendliche" Summen?

3)

Schreibweise "..." bei

a), c)

leider unklar

Ich bin bereits ziemlich am verzweifeln und bedanke mich im Voraus für jede Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mathadvisor aktiv_icon

11:29 Uhr, 13.01.2025

Zu 1): Ja (in diesem Fall).
Zu 2): Da ist nichts unendliches, die Summen haben ein Ende, der letzte Summand ist ja angegeben.
Zu 3): Was ist da unklar? Man kann alle drei Teilaufgaben mit Summenzeichen oder ohne (dann mit ...) schreiben.

Zur Induktion: Schau Dir die Beispiele aus der Lehrveranstaltung genau an. Formuliere Ind.Vor. und Ind.Beh. sauber und schreib das vollständig auf.

michaL aktiv_icon

11:48 Uhr, 13.01.2025

Hallo,

vielleicht noch zu c): Das ist eine Teleskopsumme. Der Induktionsschritt gestaltet sich dort doch recht einfach.

Mfg Michael

calc007

11:57 Uhr, 13.01.2025

Hallo
Die kürzest-vorstellbarn Summen (Beispiele) sind doch:

a)

1^{3} = n^{3} = . .

.
also beginnt hier die kürzeste Reihe bei

n = 1

b)

da steht sogar unterhalb des Summenzeichens, dass

i

bei

i = 1

beginnt.

c)

\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{n \cdot (n + 1)}

also beginnt hier die kürzeste Reihe bei

n = 1

.

Wenn du unsicher bist, dann empfehle ich dringend:
Der erste Induktionsschritt fordert stets ein Beispiel. Das verbietet aber nicht, auch ein zweites, drittes, viertes Beispiel zu tätigen und studieren, bis du dir über das Prinzip der Formeldarstellung und deren Konsequenzen im Klaren bist.
(PS: sollte dabei ein Gegen-Beweis auftreteten: Hurra, dann ist der GegenBeweis schon getätigt!)

Was verstehst du unter "unendlichen Summen"?
Die Formeldarstellungen sind stets 'unendlich' in dem Sinne, dass ja kein Ende angegeben ist.
Kein Mathematiker wollte eine Formel darstellen, wenn morgen ein Student kommt, und beweist, dass die für zB.

n = 12345566788932335

ja gar nicht stimmt.

Die Methode der vollständigen Induktion geht doch grundsätzlich davon aus, dass eben aus dem Schluss von

n

auf

(n + 1)

eben gerade endlos viele Glieder nachweisbar werden.

Ich verstehe dein
"3) Schreibweise

. .

. leider unklar"
leider nicht recht. Tust du dir schwer, aus den bisherigen Darstellungen die weiteren Summenglieder vorzustellen und zu Papier zu bringen. Dann ist es sicherlich eine gute Übung, eben noch weitere Summenglieder zu Papier zu bringen und dir die Bildungsvorschrift klar zu machen.

livurr aktiv_icon

13:09 Uhr, 13.01.2025

Wenn ich nun richtig verstanden habe, kann ich die Aufgaben

a)

und

c)

auch mit Summenzeichen aufschreiben (?)

a)

(Summe von 1 bis

n) n^{3} = \frac{{(n^{2} (n + 1))}^{2}}{4}

c)

(Summe von 1 bis

n) \frac{1}{n (n + 1)} = \frac{n}{n + 1}

Danach gehe ich die üblichen Schritte mit Induktionsanfang und Induktionsschritt durch und sollte nach einigen Umformungen hoffentlich auf ein Ergebnis kommen?

Und vielen Dank für die Antworten, ich muss mir das Thema leider selbstständig erarbeiten und ich habe nicht gerade viele Informationen erhalten.. (siehe Anhang)

Respon

13:16 Uhr, 13.01.2025

Das jeweilige "

n

" ist eine zwar unbekannte, aber fest vorgegebene natürliche Zahl. Du kannst daher "

n

" nicht als "Laufvariable" verwenden, verwende

z . B

. "

k

" oder "

i

". ( siehe Angabe Beispiel

b))

.
Es wäre sicher vorteilhaft, ein Beispiel konkret durchzurechnen.

HAL9000

14:09 Uhr, 13.01.2025

Richtig, es heißt somit

a)

\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}

(der Wert

\frac{{(n^{2} (n + 1))}^{2}}{4}

ist falsch !!!)

c)

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 1)} = \frac{n}{n + 1}

livurr aktiv_icon

15:09 Uhr, 13.01.2025

Ich habe nun ein wenig probiert mit der

a)

zu rechnen:

1)Zunächst 1 eingesetzt, geprüft etc.

2) n

mit

n + 1

ersetzt

3)

Umgeformt und bei folgendem Punkt angekommen:

\sum_{k = 1}^{n + 1} k^{3} = \frac{(n^{2} + 1) \cdot {(n + 2)}^{2}}{4}

Die linke Seite in zwei aufgeteilt (Von

i = 1

bis

n;

von

n + 1

bis

n + 1)

\sum_{k = 1}^{n} k^{3} \sum_{n + 1}^{n + 1} k^{3} = \frac{n^{2} \cdot {(n + 1)}^{2}}{4} + n^{3} + 1

Induktionsvoraussetzung eingesetzt:

\frac{n^{2} \cdot {(n + 1)}^{2}}{4} + n^{3} + 1 = \frac{(n^{2} + 1) \cdot {(n + 2)}^{2}}{4}

und die linke Seite addiert:

\frac{n^{2} \cdot {(n + 1)}^{2} + 4 \cdot (n^{3} + 1)}{4} = \frac{(n^{2} + 1) \cdot {(n + 2)}^{2}}{4}

Nun stecke ich leider fest / mache vermutlich Fehler beim Umformen und komme auf kein logisches Ergebnis nach Anwendung von binomischen Formeln etc.

Bin ich auf dem richtigen Weg oder sind mir hier bereits einige Fehler passiert?

HAL9000

16:41 Uhr, 13.01.2025

Du bist mit den Termen ziemlich nachlässig (hatte ich oben ja schon angemerkt): Überall dort, wo du

(n^{2} + 1)

geschrieben hast, muss stattdessen

{(n + 1)}^{2}

stehen - das ist ein ganz anderer Wert!!!

Und es kommt auch nicht

n^{3} + 1

hinzu, sondern

{(n + 1)}^{3}

.

Das sind gravierende Fehler, die potentiell die gesamte Rechnung zerstören, das sollte dir bewusst sein! :(

---------------------------------------------------------------

Zusammengefasst lauten demnach die ersten Umformungen im Induktionsschritt

n \to n + 1

\sum_{k = 1}^{n + 1} k^{3} = \sum_{k = 1}^{n} k^{3} + {(n + 1)}^{3} \overset{I V}{=} \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4} + {(n + 1)}^{3} = \dots

Ziel der Umformerei ist es den Term

\frac{{(n + 1)}^{2} {(n + 2)}^{2}}{4}

zu erhalten. Diesem Ziel kommt man erheblich näher, wenn man rechts

{(n + 1)}^{2}

bzw. sogar besser gleich

\frac{{(n + 1)}^{2}}{4}

ausklammert.

livurr aktiv_icon

10:24 Uhr, 14.01.2025

Vielen Dank für die Geduld und die Antworten, ich hab die Aufgaben nun endlich nach all den leichtsinnsfehlern gelöst bekommen.

Wünsche euch allen einen schönen Tag noch!

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