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Vollständige Induktion bei von Rekursiver Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Beschränktheit, Folgen, Induktion, reih, verzweifelt, Vollständig Induktion

desperateStudent aktiv_icon

10:47 Uhr, 09.11.2017

Hallo Leute,
ich habe folgende Hausaufgabe bekommen:

"Die Folge

(a_{n})

mit n∈N sei rekursiv definiert durch

a_{1}

= 1 und

a_{(} n + 1) = 4 a n / (3 a n + 3)

.

a) Zeigen Sie, dass die Folge mit

a_{n} \geq 1 / 3

von unten beschränkt ist.
Hinweis: Führen Sie einen Beweis durch vollständige Induktion durch.
b) Zeigen Sie, dass die Folge

(a_{n})

mit

n \in N

konvergiert.
c) Berechnen Sie den Grenzwert."

Leider hänge ich schon an der Teilaufgabe a, denn ich weiß nicht wie ich ich mit vollständiger Induktion die Beschränktheit einer rekursiven Folge zeigen kann. Mein Ansatz bisher:

Induktionsanfang: Für n=2 gilt die Behauptung

a_{n}

≥

1 / 3

, da aus

a_{1}

=1 für n=2 folgt:

a_{2}

4 a_{1} / (3 a_{1} + 3)

(4 * 1) / (3 * 1 + 3)

4 / 6

2 / 3

≥

1 / 3

Folglich gibt es ein n∈N für das gilt

a_{n}

≥

1 / 3

.
Induktionsschritt:

Und ab hier weiß ich nicht wie es weitergeht.. ich habe den ganzen Tag gestern nach Anleitungen gesucht, aber absolut garnichts gefunden, was mich weiterbringt.. ich habe ein Video gesehen, laut dem ich im Induktionsschritt

a_{n}

≥

1 / 3

durch Äquivalenzumformung zu

4 a n / (3 a n + 3)

≥

1 / 3

müsste und eins in dem eine Bildungsvorschrift für an gesucht wurde? Leider bringen mich beide Ansätze nicht weiter und leider fällt an der Uni auch die Vorlesung und Globalübung aus, in dem das ganze vielleicht nochmal erklärt werden würde..
Vielen Dank schonmal im Vorraus, an jeden der sich meiner erbarmt :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

10:53 Uhr, 09.11.2017

Induktionsschritt.
Annahme:

a_{n} \geq 1 / 3

.
Dann folgt

a_{n + 1} = \frac{4 a_{n}}{3 a_{n} + 3} = \frac{4 a_{n} + 4}{3 a_{n} + 3} - \frac{4}{3 a_{n} + 3} = \frac{4}{3} - \frac{4}{3 a_{n} + 3} \geq \frac{4}{3} - \frac{4}{3 \cdot (1 / 3) + 3} = \frac{4}{3} - \frac{4}{4} = \frac{1}{3}

.

Ich muss echt ein Buch über Abschätzungen schreiben, scheint kein Mensch zu können. :-O

desperateStudent aktiv_icon

11:06 Uhr, 09.11.2017

Vielen vielen Dank!! Hätte nie mit einer so schnellen Antwort gerechnet!
So ein Buch wär nicht schlecht, denn ich fürchte, ich verstehe bei deiner Lösung auch nur Bahnhof.. Könntest du mit den ersten Schritt vielleicht näher erläutern :-)

anonymous

11:43 Uhr, 09.11.2017

Wenn das der Stamm erfährt hahahahah

desperateStudent aktiv_icon

11:45 Uhr, 09.11.2017

Haha :-D) ja hoffentlich nicht, aber verstehe die aufgabe leider garnicht :(

DrBoogie aktiv_icon

11:53 Uhr, 09.11.2017

Was für Stamm?

desperateStudent aktiv_icon

11:54 Uhr, 09.11.2017

Das ist der Professor, der die Aufgabe gestellt hat.

desperateStudent aktiv_icon

11:59 Uhr, 09.11.2017

@DrBoogie kannst du mir sagen, wo die

+ 4

im Zähler herkommt und warum du danach den ganzen Spaß noch einmal subtrahiert hast?

DrBoogie aktiv_icon

12:02 Uhr, 09.11.2017

Der 1. Schritt ist nur die Anwendung der Definition der Folge:

a_{n + 1} = \frac{4 a_{n}}{3 a_{n} + 3}

.
Der 2. Schritt ist eine einfache Umformung:

\frac{4 a_{n}}{3 a_{n} + 3} = \frac{4 a_{n} + 4}{3 a_{n} + 3} - \frac{4}{3 a_{n} + 3}

. Das so geht, kannst Du einfach nachprüfen, wenn Du rechts diese Brüche zu einem machst. (Eigentlich Quatsch, das ist das erklären muss, es ist Schulstoff).
Der 3. Schritt ist Kürzung im Bruch

\frac{4 a_{n} + 4}{3 a_{n} + 3}

, denn

\frac{4 a_{n} + 4}{3 a_{n} + 3} = \frac{4 (a_{n} + 1)}{3 (a_{n} + 1)}

anonymous

12:03 Uhr, 09.11.2017

Es ist einfach ein Neutrales Element, du kannst

+ \frac{4}{3 a_{n} + 3}

rechnen, wenn du nachher wieder

\frac{4}{3 a_{n} + 3}

abziehst.
Dann käme in der Summe 0 heraus und damit veränderst du nichts in der ganzen Gleichung.

desperateStudent aktiv_icon

12:04 Uhr, 09.11.2017

Achsooo jetzt seh ich es auch! Vielen danke :-) da hätte ich wirklich drauf kommen können!

DrBoogie aktiv_icon

12:04 Uhr, 09.11.2017

"DrBoogie kannst du mir sagen, wo die im Zähler herkommt und warum du danach den ganzen Spaß noch einmal subtrahiert hast?"

Es kommt von mir. :-)
Verstehst Du nicht, dass

x = x + 4 - 4

? Solche Umformungen sind doch A und O in Mathematik.
Was macht Ihr alle in der Schule? :-O

Das nennt man manchmal "fette Null", also dass man

0

immer als

a - a

schreiben kann, z.B.

0 = 4 - 4

. Das hilft sehr oft.

desperateStudent aktiv_icon

12:06 Uhr, 09.11.2017

hab das echt nicht gesehen grade :-D) bin wohl wirklich noch etwas müde.. Danke! Ihr habt mir wirklich sehr geholfen!

michaL aktiv_icon

12:07 Uhr, 09.11.2017

Hallo,

nichts gegen DrBoogie, aber als ich sein posting las, dachte ich: Wenig verständlich, geht naheliegender.

Vielleicht so?

a_{n + 1} = \frac{4 a_{n}}{3 a_{n} + 3} \geq \frac{1}{3} \overset{}{\Leftrightarrow} 4 a_{n} \geq \frac{1}{3} (3 a_{n} + 3) = a_{n} + 1 \overset{}{\Leftrightarrow} 3 a_{n} \geq 1 \overset{}{\Leftrightarrow} a_{n} \geq \frac{1}{3}

, was ja Voraussetzung ist.

Mfg Michael

desperateStudent aktiv_icon

12:21 Uhr, 09.11.2017

Danke :-) Das ist wirklich gut

desperateStudent aktiv_icon

12:22 Uhr, 09.11.2017

Danke :-) das ist wirklich gut

DrBoogie aktiv_icon

12:25 Uhr, 09.11.2017

Ich finde die Verwendung von <=> grundsätzlich problematisch, denn man muss ja zuerst mal sicher sein, dass die Rechnung bis zu Ende aufgeht. Dagegen kann man mit => Schritt für Schritt arbeiten.
Und ich finde => ein ganzes Stück intuitiver. Ich bin ziemlich sicher, dass viele Menschen <=> "abkaufen", ohne es wirklich zu verstehen.
Aber ist nur meine Meinung.
Was ich aber nicht verstehe, warum so viele Probleme mit "fetter Null" und ähnlichen Konstruktionen haben? Sie springen doch sofort ins Auge.

michaL aktiv_icon

14:47 Uhr, 09.11.2017

Hallo,

> Ich finde die Verwendung von <=> grundsätzlich problematisch, denn man muss ja zuerst mal sicher sein, dass
> die Rechnung bis zu Ende aufgeht.

Ich stimme dir zu, dass die Äquivalenzumformungen eigentlich noch begründet werden müssten (in einigen Fällen), was aber in diesem Fall kein Problem darstellt:
Das einzig ernstzunehmende Problem ist ja die Multiplikation zu Beginn. Hier muss natürlich sichergestellt ein, dass nicht mit einer negativen Zahl multipliziert wird. Ist eine Überprüfung, die kommentiert werden muss, aber dann ist es auch gut.
Die beiden anderen Umformungen (Subtraktion und Division durch 3) sind unproblematisch, wessen man sich aber klar sein muss. (Gerade bei Anfängern ist dies nicht immer gegeben.)

Dass man sicher sein müsse, die Rechnung gehe am Ende "auf", ist aus meiner Sicht erstmal kein Argument. Geht sie nicht auf, hilft mir die Umformung nicht und ich muss was anderes versuchen.

> Ich bin ziemlich sicher, dass viele Menschen <=> "abkaufen", ohne es wirklich zu verstehen.

Und da geb ich dir vollkommen recht. (s.o.)

> Was ich aber nicht verstehe, warum so viele Probleme mit "fetter Null" und ähnlichen Konstruktionen haben?
> Sie springen doch sofort ins Auge.

Ja, das mathematische Auge bzw. der mathematische Weitblick...
Tatsächlich braucht es eine gehörige Portion entweder Übung oder Talent. Meist ist beides nicht in dem Maße vorhanden, wie man es sich wünschen würde. Und genau auf diesen Aspekt wollte ich mit meinem posting einwirken. Auch ich habe beim Lesen der Aufgabe gedacht, dass ein "Leihen" einer 4 den Term stark verändert/vereinfacht. Aber diesen Blick haben heutige Studenten nicht. In der Schule wird zumeist sogar auf einen Beweis der Produktregel verzichtet, in dem eine solche Addition einer Null ja gewinnbringend eingesetzt werden kann. Zu meiner Zeit gab es das in Schulen noch, heutzutage weitestgehend nicht mehr.

Allerdings wollte ich noch einen weiteren deiner Gedanken kommentieren:

> Ich muss echt ein Buch über Abschätzungen schreiben, scheint kein Mensch zu können.

Tatsächlich habe ich genau daran auch schon mehrfach gedacht. Die große Kunst des Abschätzens. Wie kommt man heutzutage ohne durch die Prüfung in Analysis I?

Mfg Michael

DrBoogie aktiv_icon

15:34 Uhr, 09.11.2017

"Tatsächlich habe ich genau daran auch schon mehrfach gedacht."

Wir können es zusammen schreiben. ;-)

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