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Vollständige Induktion für eine Reihe

Universität / Fachhochschule

Tags: Induktionsschritt, natürliche Zahlen, Vollständig Induktion

LeoGeoCrow aktiv_icon

19:37 Uhr, 20.02.2024

Ich komme gerade beim Induktionsschritt bei dieser nicht weiter Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für jedes n ∈ N

\sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{2^{k}} = 2 - \frac{n + 2}{2^{n}}

.

Der Induktionsanfang wäre ja:

n = 1 \sum_{k = 1}^{1} \frac{1}{2^{1}} = 2 - \frac{1 + 2}{2^{1}} = > \frac{1}{2} = 2 - \frac{3}{2} = > \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Die Induktionsvorraussetzung würde lauten:
Für ein festes aber beliebiges n ∈ N gilt n ∈ N

\sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{2^{k}} = 2 - \frac{n + 2}{2^{n}}

Der Induktionsschrit:

n \to n + 1 \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{k + 1}{2^{k + 1}} = 2 - \frac{n + 3}{2^{n + 1}}

\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{k + 1}{2^{k + 1}} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{2^{k}} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} =^{I V} 2 - \frac{k + 2}{2^{k}} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} = 2 - \frac{(2 k + 4) + (k + 1)}{2^{k + 1}}

Wie mache ich jetzt nun weiter, sodass

2 - \frac{n + 3}{2^{n + 1}}

rauskommt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

19:47 Uhr, 20.02.2024

Hallo,

das Problem tritt schon an der Stelle der Formulierung des Induktionsschrittes aus.
Es geht NICHT um

\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{k + 1}{2^{k + 1}} = 2 - \frac{n + 3}{2^{n + 1}}

.

Korrekterweise musst du jedes Vorkommen von

n

\sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{2^{k}} = 2 - \frac{n + 2}{2^{n}}

durch ein

n + 1

ersetzen.
Du hast aber gleich auch

k

durch

k + 1

(zumindest teilweise) ersetzt, was hochgradig fehlerhaft ist.

Ein weiterer Fehler tritt dann bei der Aufspaltung der Summe auf. Dort dürfte im letzten Term natürlich(!) kein

k

mehr auftreten.
Allerdings ist es wenig sinnvoll, diesen Teil jetzt zu korrigieren, da sich durhc den ersten Fehler dieser Teil ohnehin verändern muss.

Mfg Michael