Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Vollständige Induktion in Teilbarkeit

Vollständige Induktion in Teilbarkeit

Universität / Fachhochschule

Tags: Induktion nach n, Teilbarkeit, Vollständig Induktion

DerMitDemNamen aktiv_icon

10:51 Uhr, 30.03.2020

Moin moin.

Ich habe folgende Aufgabe:

Zeigen Sie folgende Aussage mittels vollständiger Induktion:

\forall n \in ℕ : 6 | n^{3} - n

Soweit bin ich bis jetzt:

I.Basis:

(n = 1)

6 | 1^{3} - 1

stimmt

I.Schritt:

k =

bel. aber festes

n

.

I.Annahme:
für

k

ist

6 | k^{3} - k

wahr.

Zu Zeigen:

6 | {(k + 1)}^{3} - (k + 1)

I.Beweis:

6 | {(k + 1)}^{3} - (k + 1)

6 | (k + 1) \cdot (k + 1) \cdot (k + 1) - (k + 1)

6 | (k^{2} + k + 1) \cdot (k + 1) - (k + 1)

6 | (k^{3} + k^{2} + k + k^{2} + k + 1) - (k + 1)

bzw.

6 | (k^{3} + 2 k^{2} + 2 k + 1) - (k + 1)

6 | (k^{3} + 2 k^{2} + k)

. .

.

Bis hier bin ich gekommen. Aber wie baue ich jetzt die I.Annahme da ein? Komme ich dann auf

6 | ...

? Im moment habe ich da ja noch keine Teilbarkeit durch 6 wenn ich das richtig sehe.

Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

11:09 Uhr, 30.03.2020

Du möchtest zeigen, dass

{(k + 1)}^{3} - (k + 1)

durch 6 teilbar ist.

{(k + 1)}^{3} - (k + 1) = k^{3} + 3 \cdot k^{2} + 3 \cdot k + 1 - k - 1 = (k^{3} - k) + 3 \cdot k \cdot (k + 1)

k^{3} - k

ist lt. Voraussetzung durch 6 teilbar.

3 \cdot k \cdot (k + 1)

???
Der Term

k \cdot (k + 1)

ist immer durch 2 teilbar

\Rightarrow

auch

3 \cdot k \cdot (k + 1)

ist durch 6 teilbar

michaL aktiv_icon

11:57 Uhr, 30.03.2020

Hallo,

@DerMitDemNamen: Du hast offenbar ein Problem mit dem Ausmultiplizieren.
So ist bei dir etwa

(k + 1)^{2} = k^{2} + k + 1

statt

= k^{2} + 2 k + 1

(wie dir als spezielle binomische Formel aus der 8. Klasse bekannt sein dürfte).
Desweiteren ergibt schließlich

(k + 1)^{3} = k^{3} + 3 k^{2} + 3 k + 1

, wie man schnell mit dem binomischen Lehrsatz (einer Art binomischer Formel für höhere Potenzen) berechnet.

Insbesondere gilt:

(k + 1)^{3} - (k + 1) = k^{3} + 3 k^{2} + 2 k

Nun zum eigentlichen: Gemäß "eine Summe ist sicher teilbar, wenn jeder Summand teilbar ist", schreibst du

(k + 1)^{3} - (k + 1) = k^{3} + 3 k^{2} + 2 k = (k^{3} - k) + (3 k^{2} + 3 k)

und machst bei Respon weiter.

Mfg Michael

DerMitDemNamen aktiv_icon

11:59 Uhr, 30.03.2020

Gerade als du es geschrieben hast, ist es mir aufgefallen... :-) ja. Ausmultiplizieren... Ich bin ein Kandidat für Flüchtigkeitsfehler.
Danke leute

1498088

1498075

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?