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Vollständige Induktion mit Teilbarkeit

Universität / Fachhochschule

Tags: Induktionsbeweis, Teilbarkeit

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11:28 Uhr, 06.11.2017

So, ich habe folgende Aufgabe:

Ich habe die Zahl

7^{n} - 1

und soll mittels Induktion zeigen, dass diese ohne Rest durch 6 teilbar ist; das heißt, es gibt ein

k \in ℕ 0

so, dass

7^{n} - 1 = 6 k

.

Ja, da habe ich dann folgendes gemacht:

IA

A (1) : 7^{1 + 1} - 1 = 6 k

12 = 6 k

2 = k

A (n) \Rightarrow A (n + 1) : 7^{n + 1} - 1 = 6 k

Dann habe ich den Term

7^{n + 1} - 1

umklammert und drunter geschrieben, dass dieser Teil durch 6 teilbar ist und das die Behauptung somit stimmt. Das scheint mir jedoch zu einfach zu sein, aber anders weiß ich leider nicht wie ich das lösen soll.

Bei der zweiten Aufgabe hatte ich die folgende Gleichung:

10^{n} + 3 \cdot 4^{n + 2} + 5 = 9 k

Da bin ich genau gleich vorgegangen, wie beim ersten.

Bin für jeden Tipp, Ansatz dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."