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Vollständige Induktion n im Summand

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Sonstiges

Tags: Sonstig, Vollständig Induktion

Marv93 aktiv_icon

11:54 Uhr, 25.03.2019

Hi,

ich rechne momentan Altklausuren zur Prüfungsvorbereitung durch und verzweifle an einer Stelle. Das Prinzip der vollständigen Induktion ist mir klar, aber in meiner Aufgabe steht ein

n

im Summanden. Ich weiß einfach nicht, wie man den Induktionsschritt durchführen kann bzw. wie man überhaupt später die Induktionsvoraussetzung einsetzen kann. Bisher waren mir nur Summen geläufig, die nur die Laufvariable im Summanden haben. Ich hoffe mir kann jemand helfen. Vielen Dank im Voraus!

Respon

12:06 Uhr, 25.03.2019

Warum VI. ? verwende die Summe einer geometrischen Reihe.

\sum_{k = 0}^{n - 1} {(1 - \frac{1}{n})}^{k} = {(1 - \frac{1}{n})}^{0} + {(1 - \frac{1}{n})}^{1} + (1 - \frac{1}{n}) 2 + . .

+ {(1 - \frac{1}{n})}^{n - 1} = 1 \cdot \frac{1 - {(1 - \frac{1}{n})}^{n}}{1 - (1 - \frac{1}{n})} = . .

.
Den letzten Term noch etwas umformen.

Marv93 aktiv_icon

13:01 Uhr, 25.03.2019

Danke schon mal für deine Antwort. Jetzt wo du es sagst sehe ich auch, dass man dort die geometrische Reihe erkennt. Es mag auch sein, dass dein Ansatz vollkommen ausreicht, um die volle Punktzahl für eine solche Aufgabe zu bekommen. Wenn aber noch jemand weiß, wie man bzw. ob man das ganze per vollständiger Induktion lösen kann wäre ich dafür auch sehr dankbar. Ich fürchte nämlich, dass in einer Klausur das Ganze nur so als zufriedenstellend gelöst angesehen wird.

HAL9000

14:00 Uhr, 25.03.2019

Manches kann man nicht mit Gewalt übers Knie brechen: Die von Respon angesprochende geometrische Summenformel

\sum_{k = 0}^{n - 1} q^{k} = \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

lässt sich per Vollständiger Induktion relativ leicht beweisen.

Hat man hingegen noch ein von

n

abhängiges

q

wie bei dir, d.h.

\sum_{k = 0}^{n - 1} q_{n}^{k} = \frac{q_{n}^{n} - 1}{q_{n} - 1}

mit

q_{n} := 1 - \frac{1}{n}

und will den Induktionsbeweis stur genau auf diese Struktur ausrichten, dann ist man auf verlorenem Posten: Ich wüsste nicht, wie man die Induktionsvoraussetzung

\sum_{k = 0}^{n - 1} q_{n}^{k} = \frac{q_{n}^{n} - 1}{q_{n} - 1}

in den Beweis der Induktionsbehauptung

\sum_{k = 0}^{n} q_{n + 1}^{k} = \frac{q_{n + 1}^{n + 1} - 1}{q_{n + 1} - 1}

sinnvoll einbringen könnte... (*)

Also wenn du unbedingt einen Induktionsbeweis anbringen willst, dann doch bitte den der geometrischen Summenformel

\sum_{k = 0}^{n - 1} q^{k} = \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

für festes (d.h. von

n

unabhängiges)

q

, und im Anschluss wendest du die an für

q = 1 - \frac{1}{n}

. Kannst dich natürlich auch gern selbst von dem überzeugen, was ich in (*) geschrieben habe.

> Ich fürchte nämlich, dass in einer Klausur das Ganze nur so als zufriedenstellend gelöst angesehen wird.

Sofern sie vorher irgendwann schon mal behandelt wurde, sollte die geometrische Summenformel doch benutzbares Allgemeingut sein. Ansonsten kannst du ja (wie oben empfohlen) deren Beweis anbringen.

Marv93 aktiv_icon

15:32 Uhr, 25.03.2019

Ja, die geom. Summenformel darf benutzt werden. Ich denke dann auch, dass es wohl reicht, diese per Induktion zu beweisen. Den Induktionsbeweis mit

q = 1 - \frac{1}{n}

verstehe ich auch und kann ihn anwenden. Vielen Dank!

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