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Vollständige Induktion n! < (n/2)^n für n ∈ N

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Induktion, Sonstig, Ungleichung, vollständig

Jonathan29 aktiv_icon

00:11 Uhr, 18.11.2015

Hallo,

die Frage ist, für welche

n

∈

N

die Ungleichung

n! < {(\frac{n}{2})}^{n}

gilt.
Ich habe bisher Folgendes:
Beh.: Ungleichung gilt für

n

∈

N

mit

n \geq 6

.
Bew.: I.A.

6! = 720 < 729 = 3^{6}

I.S.: Es gelte die Ungleichung für

n

beliebig.

(n + 1)! < {(\frac{n + 1}{2})}^{n + 1}

(n + 1) n! < {(\frac{n + 1}{2})}^{n} (\frac{n + 1}{2})

(n + 1) {(\frac{n}{2})}^{n} < {(\frac{n + 1}{2})}^{n} (\frac{n + 1}{2}) | : {(\frac{n}{2})}^{n} | : (\frac{n + 1}{2})

(n + 1) (\frac{2}{n + 1}) < {(\frac{n + 1}{2})}^{n} {(\frac{2}{n})}^{n}

\frac{2 (n + 1)}{n + 1} < {(\frac{2 (n + 1)}{2 n})}^{n}

2 < {(\frac{n + 1}{n})}^{n}

Nun will ich eine weiter Induktion durchführen, um zu zeigen, dass 2 immer kleiner ist.
Allerdings stimmt der Ausdruck für

n = 1

nur, wenn ich

\leq

beweisen würde.

Was habe ich falsch gemacht?

Liebe Grüße, Jonathan

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Fabienne- aktiv_icon

01:15 Uhr, 18.11.2015

Du hast deinen Induktionsanfang für n=6 gemacht.
Alles was du tust bezieht sich darauf. Das heißt, deine letzte Ungleichung "startet" auch erst ab n=6 und da gilt dies, wie du leicht nachrechnen kannst.

Dieser Ausdruck ist streng monoton wachsend, dann müsstest du bei bedarf beweisen, damit du auch weißt, dass es größer 2 bleibt.

wallter0234 aktiv_icon

04:28 Uhr, 18.11.2015

Du willst doch zeigen, dass ab

n = 6

immer gilt

2 < a_{n} := {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

.
Da

a_{n}

eine streng monoton wachsende Folge bereits ab

n = 1

ist, und bereits

a_{2} = 2,25

ist, erfüllen bereits alle

a_{n}

mit größerem Index als

n = 1

deine Ungleichung, also gewiss auch die mit

n \geq 6

.

Walter

Jonathan29 aktiv_icon

10:32 Uhr, 18.11.2015

Hallo,

danke euch beiden, nun habe ich es verstanden.

Liebe Grüße, Jonathan

Bummerang

12:57 Uhr, 18.11.2015

Hallo,

im Induktionsschritt ist ein Fehler!

Du hast die Ungleichung:

(n + 1) \cdot n! < {(\frac{n + 1}{2})}^{n} \cdot (\frac{n + 1}{2})

Weil nun nach Induktionsvoraussetzung gilt:

n! < {(\frac{n}{2})}^{n}

setzt Du die Induktionsvoraussetzung nun so ein:

(n + 1) \cdot {(\frac{n}{2})}^{n} < {(\frac{n + 1}{2})}^{n} \cdot (\frac{n + 1}{2})

Und das ist leider falsch!

Wenn Du dort für ein

n + 1 (i n

Werten) stehen hättest:

10 \cdot 2 < 25

Dann stimmt die Ungleichung für Dein

n + 1

. Wenn aber die Induktionsvoraussetzung für das

n

in der zu beweisenden Ungleichung (

i n

Werten) ergäbe:

2 < 3

Dann ergibt Deine Einsetzung der Induktionsvoraussetzung:

10 \cdot 3 < 25

Das ist falsch und deshalb geht das so nicht!

Wie es gehen könnte:

www.onlinemathe.de/forum/Vollstaendiger-Induktion-mit-Ungleichung

Dazu wäre die Kenntnis der Bernoulli-Ungleichung nötig oder man beweis die Gültigkeit von

2 \leq {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

einfach mal selber,

z . B

. anhand der Monotonie

. .

Matlog aktiv_icon

13:36 Uhr, 18.11.2015

Ich habe den Eindruck, dass Bummerang hier Gespenster sieht!

Jonathan29 beginnt mit der Induktionsbeh. und formt diese um, bis er zu einer wahren (oder noch zu beweisenden) Aussage kommt.
Dann müssen die einzelnen Zeilen der Umformung von unten nach oben folgen, und nicht von oben nach unten!

Deshalb wäre es viel eleganter und verständlicher, wenn man mit der linken Seite der Induktionsbeh. anfängt und diese solange vergrößert, bis die rechte Seite herauskommt, anstatt die komplette Ungleichung umzuformen.

Jonathan29 aktiv_icon

14:24 Uhr, 18.11.2015

Hallo bummerang und matlog,

ich verstehe nicht, wieso du ein Beispiel suchst, bei dem die Behauptung für

n + 1

gilt und für

n

nicht. Ich will doch nur beweisen, dass aus

n \Rightarrow n + 1

folgt und nicht umgekehrt!

Und ja, die Induktion gilt "von unten nach oben". Wie würdest du die Induktion aufschreiben? Ich verstehe nicht ganz, was du meinst.

Liebe Grüße, Jonathan

Matlog aktiv_icon

14:47 Uhr, 18.11.2015

Ich fände es schöner, Deinen Beweis so aufzuschreiben:

(n + 1)! = (n + 1) \cdot n! < (n + 1) \cdot {(\frac{n}{2})}^{n}

(nach Induktionsvor.)

= 2 \cdot \frac{n + 1}{2} \cdot {(\frac{n}{2})}^{n} < {(\frac{n + 1}{n})}^{n} \cdot {(\frac{n}{2})}^{n} \cdot \frac{n + 1}{2}

(wobei

2 < {(\frac{n + 1}{n})}^{n}

noch zu zeigen ist)

= {(\frac{n + 1}{2})}^{n} \cdot \frac{n + 1}{2} = {(\frac{n + 1}{2})}^{n + 1}

Jonathan29 aktiv_icon

14:52 Uhr, 18.11.2015

Hallo Matlog,

jetzt weiß ich, was du meinst. Das sieht in der Tat schöner aus ;-).

Danke für deine Hilfe.

Liebe Grüße, Jonathan

Bummerang

15:09 Uhr, 18.11.2015

Hallo Matlog,

"Ich habe den Eindruck, dass Bummerang hier Gespenster sieht!"

Ich sehe keine gespenster, ich sehe, was Jonathan29 geschrieben hat:

"I.S.: Es gelte die Ungleichung für

n

beliebig."

Und dann formt er die zu beweisende Behauptung um!

Warum schreibt er dann nicht, wenn er es denn tatsächlich von Anfang an so gemeint hat, dass dieser Induktionsschritt noch umzukehren ist? Ich kenne genügend Fälle, in denen Schüler und Studenten das genauso aufschreiben wie Jonathan29 und (auch ohne Fehler zwischendrin) am Ende behaupten, sie hätten irgendwas bewiesen. Aber mit der vorgekauten Umkehrung tut er sich leicht zubehaupten, nie etwas anderes vorgehabt zu haben!

@Jonathan29

"ich verstehe nicht, wieso du ein Beispiel suchst, bei dem die Behauptung für

n + 1

gilt und für

n

nicht."

Du hast das Beispiel nicht begriffen! Natürlich gilt die Induktionsvoraussetzung für

n

und wenn man für ein konkretes, beispielhaftes

n

einen Wert einsetzt, dann erhält man irgendeine Relation,

z . B

2 < 3

. Führt man in Deinem Beweis der Induktionsbehauptung aber irgendwelche Umformungen durch, die für

n + 1

(also den natürlichen Nachfolger des eben gewählten konkreten

n)

nach Einsetzen der Werte für

n

die Relation

10 \cdot 2 < 25

ergeben, dann stimmt natürlich im Beweis diese Relation an dieser Stelle. Setzt man nun aber die für

n

gültige Induktionsvoraussetzung

2 < 3

so ein, wie Du es gemacht hast, dann steht in der nächsten Relation

10 \cdot 3 < 25

und ab hier stimmt die Relation nicht mehr! Hast Du das Beispiel nun verstanden!

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