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Vollständigkeit eines metrischen Raums zeigen

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Metrik, metrische Raum, Sonstig, vollständig

Alnura aktiv_icon

14:26 Uhr, 13.04.2019

Hallo, ich komme bei folgendem Beweis nicht weiter:
Man betrachte den Raum

X = (0,1]

mit der Metrik

d (x, y) := | \frac{1}{x} - \frac{1}{y} |

Behauptung:

(X, d)

ist ein vollständiger metrischer Raum.
Ich muss also zeigen, dass jede Cauchy Folge in

X

bezüglich der Metrik

d

konvergiert. Sei also

{(x_{n})}_{n \in ℕ}

eine Cauchy Folge in

X,

das heißt für alle

ε > 0

existiert ein

N \in ℕ

sodass für alle

n, m \geq N

gilt:

d (x_{n}, x_{m}) = | \frac{1}{x_{n}} - \frac{1}{x_{m}} | < ε

Soweit sind das quasi nur die Definitionen, jetzt weiß ich aber nicht richtig wie ich zu einem Kandidaten für einen Grenzwert komme.
Vielen Dank schon mal, lg :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

18:29 Uhr, 13.04.2019

Hallo,
es sei

(x_{n})

eine Cauchyfolge bzgl. der Metrik

d

;
sei ferner

d_{0}

die Standardmetrik von

ℝ

.
Wir betrachten die Folge

y_{n} := \frac{1}{x_{n}}

.
Dann gilt

y_{n} \in [1, \infty)

und nach Voraussetzung über die

(x_{n})

ist

y_{n}

eine Cauchyfolge bzgl.

d_{0}

.
Da

ℝ

bzgl

d_{0}

vollständig ist, existiert

y = lim y_{n}

ℝ

und da

[1, \infty)

abgeschlossen in der Standardmetrik ist,
haben wir

y \in [1, \infty)

.
Nun zeige, dass mit

x := \frac{1}{y} \in (0, 1]

gilt:

lim x_{n} = x

in der

d

-Metrik.
Gruß ermanus

Alnura aktiv_icon

21:27 Uhr, 13.04.2019

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung, habs jetzt gut verstanden :-)

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