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Vollständigkeit zeigen, Banachraum
Universität / Fachhochschule
Funktionalanalysis
Tags: Analysis, Banachraum, Cauchy Folge, Funktionalanalysis, Mathematik, vollständigkeit
 
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anonymous 15:52 Uhr, 06.08.2019  |
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Hallo! In meiner Frage geht es darum, wie man zeigt, dass eine Raum Vollständig ist. Sei hierzu gegeben: stetig mit der Norm Supremum mit . Nun will ich zeigen, dass sein Banachraum ist. Ich weiß zwar aus der Vorlesung schon, dass ein Banachraum ist, jedoch geht es mir hier darum, die Vollständigkeit zu zeigen. Sei also schon gegeben dass den Vektorraumaxiomen genügt und dass die Norm ebenfalls den Eigenschaften einer Norm genügt. Außerdem induziert die Norm auf eine Metrik auf . Jetzt ist also nur noch zu zeigen, dass jede Cauchy-Folge in bezüglich der Metrik konvergiert oder, dass ein abgeschlossener Unterraum eines Vollständigen Raumes ist. (Beim zweiten bin ich mir nicht 100%ig sicher, da nicht endlich dimensional ist, jedoch ist dies sowieso nicht der Fall. Eine kleine Aufklärung diesbezüglich wäre auch sehr Nett.) Sei also eine Cauchy in V. Dann gilt: mit Ich muss jetzt irgendwie zeigen, dass der Grenzwert einer solchen Folge in liegt, also stetig ist. Wie gehe ich da am beste vor bzw. wie bringe ich die ganzen Sachen zusammen...? Benötige ich hier die Definition der Stetigkeit? Vielleicht Lipschitz-Stetigkeit und dann als Lipschitz-Konstante das wählen und dann die beiden Definitionen irgendwie zusammen bringen oder sowas? Danke LG Max Stuthmann Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, du suchst das Ergebnis, dass ein gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen wieder stetig ist. Mfg Michael |
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anonymous 19:55 Uhr, 07.08.2019 |
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Hallo, Danke für ihre Antwort! Okay, das ist mir klar. Nur WIE mache ich das am besten? :-) |
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Hallo, >> du suchst das Ergebnis, dass ein gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen wieder stetig ist. > Okay, das ist mir klar. Nur WIE mache ich das am besten? Was für eine Frage? Was für ein Student bist du eigentlich? Du gehst in die Universitätsbibliothek, nimmst eines der Standardwerke über Analysis heraus und suchst darin nach dem entsprechenden Ergebnis. Üblicherweise steht da auch ein Beweis bei! (Sofern ich mich recht erinnere, geht es im Wesentlichen lediglich um die mehrfache Anwendung der Dreiecksungleichung.) Alternativ (man, hast du ein Glück, dass zu deinen Studienzeiten das Internet schon soo gut bekannt ist und intensiv genutzt wird) schaust du im Internet nach einem Beweis. Ich habe $Suchmaschine_meiner_Wahl verwendet, "gleichmäßiger limes stetiger funktionen ist stetig beweis" eingegeben und gleich im ersten Treffer einen passenden Beweis gefunden. Findest du nicht, dass du das auch gekonnt hättest? Übrigens: www.wias-berlin.de/people/john/LEHRE/ANALYSIS_2_LEHR/ana2_lehr_6_7.pdf auf Seite 6. Oder: www.uni-due.de~hn213me/sk/rogge/Ana20.pdf auf Seite 10. Vielleicht ist noch unklar, dass aus der Tatsache, dass eine Funktionen-Cauchyfolge ist, schon der punktweise Limes existiert? Dann betrachte zunächst einmal die Folge der Funktioneswerte für ein festes aber beliebiges . Diese Folge reeller Zahlen ist dann auch eine Cauchyfolge (warum?) und als solche sicher konvergent (warum?). Dann einer der Beweise von oben, oder eben selber auf den Trick mit der Dreiecksungleichung kommen, um zu zeigen, dass der punktweise Limes der Funktionen-Cauchyfolge auch stetig ist. Mfg Michael Mfg Michael |
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