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Vollständigkeitsaxiom und die natürlichen Zahlen
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Mengentheorie
 
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Hallo, ich habe mich gerade mit der Vollständigkeit der reellen Zahlen befasst. Dabei habe ich die folgende Definition von Cauchy betrachtet: Jede Cauchy-Folge konvergiert in den reellen Zahlen. Ich wollte jetzt nur wissen, ob das nicht auch für die natürlichen Zahlenzutrifft, also das jede Cauchy-Folge in den natürlichen Zahlen auch in den natürlichen Zahlen konvergiert. Und außerdem die Definition von Dedekind, dass jede von oben beschränkte Teilmenge in den reellen Zahlen ein Supremum hat. Auch diese scheint mir auf die natürlichen Zahlen anwendbar, da für jede Teilmenge der natürlichen Zahlen es ein eindeutiges Supremum (der natürlichen Zahlen) gibt. Mir ist bewusst, dass ich unter Umständen Äpfel mit Orangen vergleiche und die natürlichen Zahlen selbstverständlich nicht vollständig sind. Es würde mich nur interessieren, ob diese Axiome auf die natürlichen Zahlen theoretisch zutreffen oder ob ich kompletten Schwachsinn erzähle :-P) Danke im Vorraus :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hi, so wie ich das sehe, hast du mit beiden Aussagen Recht. Ich glaube der Grund dafür ist, dass sich bei den natürlichen Zahlen die Frage der Vollständigkeit nie gestellt hat, da man wusste, dass zwischen 1 und 2 die Zahl steht. Man fragt ja nicht, ob vollständig ist, sondern ob , bzw. vollständig sind. Oft werden Cauchy-Folgen auch nur für die Menge definiert. Und dort geht das natürlich nicht. Der Unterschied zwischen und ist im wesentlichen, dass eine diskrete Menge ist, d.h. alle Punkte können durch die Wahl einer -Umgebung voneinander getrennt werden, wohingegen jeden beliebigen Punkt in beliebig gut approximieren kann (eben auch die irrationalen), eine Eigenschaft, die auf gar keinen Fall hat (denn die natürlichen Zahlen liegen nicht dicht in ). Die Cauchy-Folgen (bzw. die Dedekind-Schnitte) dienen nun dazu, diese nicht-rationalen Punkte zu definieren (eben als Grenzwert einer Folge), und die reellen Zahlen sind nun die kleinste Menge, die und alle approximierbaren Punkte enthalten. Versucht man das bei , bekommt man eben nichts neues mehr heraus, da in nur Punkte aus sich selbst approximiert werden können. Hier bringen Cauchy-Folgen also keinen Mehrwert (genausowenig wie in jedem vollständigen Raum). Um es kurz zu machen, ja die natürlichen Zahlen sind vollständig. Lieben Gruß Sina |
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Vielen Dank für die schnelle Antwort! Ist genau was ich wissen wollte :-) |
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