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Volumen Quader Ebene

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

cheek aktiv_icon

17:32 Uhr, 09.07.2010

Hallo Leute,

ich habe ein, wahrscheinlich recht einfaches, Problem: Ich habe einen Einheitsquader, in den eine Ebene einbeschrieben ist. Die Ebene ist durch die Gleichung ax+by+cz=d gegeben. Ich möchte jetzt das Volumen oberhalb der Ebene berechnen. Wie stelle ich das am besten an?

Hilfe wäre sehr willkommen.

Danke
cheek

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Yokozuna aktiv_icon

12:54 Uhr, 10.07.2010

Ganz so einfach ist das Problem auch nicht. Ich gehe mal davon aus, daß Du mit
Einheitsquader einen Einheitswürfel meinst. Bevor ich zuviel Gehirnschmalz in das
Problem investiere, hätte ich vorher noch gewußt, ob es noch weitere Angaben zur
Lage der Ebene gibt,

z . B

. ob sie die Boden- und/oder die Deckfläche des Würfels
schneidet oder nicht. Oder wenn der Normalenvektor der Ebene

z . B

. parallel zur
xy-Ebene ist

(d . h

. die Ebene steht dann irgendwie senkrecht im Würfel), was ist
dann mit "oben" gemeint?

cheek aktiv_icon

13:49 Uhr, 10.07.2010

Hallo Yokozuna:
Danke für Deine Antwort. Das Problem ist sogar noch etwas komplexer, ich weiß aber einfach nicht, wie ich da vorgehen soll, weil ich so etwas noch nie gemacht habe

(\in

der Schule habe ich in Geometrie auch nicht so gut aufgepasst:-)

Ich habe einen Würfel mit Kantenlängen von Eins. In dem Würfel liegen zwei Ebenen. Eine wird durch die Gleichung

x + y = a

und die andere durch die Gleichung

x + y - z = b

beschrieben,

a > b

. Ich möchte nun folgende Volumina berechnen: Volumen zwischen den beiden Ebenen und die Volumina der Körper die die jeweiligen Ebenen als Unterseite haben und ansonsten durch die Seiten des Würfels bestimmt werden.

Es wäre großartig, wenn Du mir einen Hinweis oder Tipp geben könntest, wie man so etwas berechnet.

Danke im voraus
cheek

maxsymca

14:52 Uhr, 10.07.2010

Soll das in der allgemeinen Form mit

a, b

erfolgen?
Der Aufwand ist auf jeden Fall sehr hoch die Schnitte mit den Quaderwänden zu berechnen. Du sollest Dich mal mit einem CAS
http//www.lemtiec.de/maxima.html
beschäftigen...

cheek aktiv_icon

15:34 Uhr, 10.07.2010

Ja, in der allgemeinen Form für Parameterwerte a und

b

. Selbst wenn der Aufwand sehr hoch ist, wie gehe ich denn am besten vor?
Danke für die Hilfe.
cheek

Yokozuna aktiv_icon

00:58 Uhr, 11.07.2010

Wir hatten heute nachmittag im Haus ein Sommerfest und ich konnte mich deshalb erst
jetzt am Abend weiter mit Deinem Problem beschäftigen. Ich bin noch nicht ganz durch,
aber ich wollte Dir mal das, was ich habe, vorab schicken, damit Du weißt, daß ich
noch an dem Thema dran bin.

Bei solchen geometrischen Aufgaben sollte man immer versuchen, sich durch eine
Zeichnung einen Überblick zu verschaffen. Das ist in diesem Fall nicht so ganz
einfach, da dreidimensionale Gebilde sich auf einem Blatt Papier oft nicht sehr
gut darstellen lassen. Ich habe es trotzdem mal versucht und ich hoffe, daß meine
Zeichnungen, die Du im Anhang findest, erkennen lassen, worum es geht.

Die erste Ebene

x + y = a (\in

den Zeichnungen rot dargestellt) steht senkrecht auf der
xy-Ebene und schneidet die x-Achse in einem Winkel von

135

Grad. Die zweite Ebene

x + y - z = b

liegt schräg drin und schneidet die xy-Ebene in einer Geraden, die parallel
zur Geraden

x + y = a

ist. Die Parameter a bzw.

b

geben an, in welcher Distanz vom
Ursprung die

x -

bzw. y-Achse geschnitten wird. Es muß gelten

0 < b < a < 2

. Liegen a
und/oder

b

außerhalb dieses Bereichs, schneidet mindestens eine der beiden Ebenen
den Würfel nicht mehr.

Es gibt grundsätzlich zwei Fälle. Im ersten Fall (ebene1.jpg) schneiden sich die
beiden Ebenen im Würfel und im zweiten Fall (ebene2.jpg) tun sie es nicht.

Ich muß jetzt langsam ins Bett und hoffe, daß ich morgen vormittag noch etwas
Zeit habe. Mittags muß ich leider wieder weg und komme voraussichtlich erst
am Abend wieder zurück. Ich bin aber auf jeden Fall noch an der Sache dran.

Gruß
Yokozuna

cheek aktiv_icon

12:48 Uhr, 11.07.2010

Hi Yokozuna,

das ist klasse! Ich kann gar nicht sagen, wie sehr mir das hilft. Kann man evtl. die Standardformeln für den Flächeninhalt eines Keils benutzen?

Bis später und tausend Dank nochmal
cheek

Yokozuna aktiv_icon

13:08 Uhr, 12.07.2010

Ich hatte gestern leider keine Zeit mehr, weil ich am Nachmittag in den Biergarten
musste (ich Armer) und abends kam man halt an der WM nicht vorbei.

Wir müssen jetzt nur noch $V_{1}$ und $V_{2}$ berechnen. $V_{3}$ ist dann das noch fehlende
Stück zum Würfel, also $V_{3} = 1 - V_{1} - V_{2}$ (mit $V_{1}$ , $V_{2}$ und $V_{3}$ beziehe ich mich auf
die Volumina in meinen bereits gesendeten Bildern).

In dieser Nachricht behandele ich $V_{1}$ (das Volumen zwischen der Ebene $x + y = a$ (rot)
und dem Würfel). Das ist ja eine senkrechte Säule mit der Höhe 1 und einer
fünfeckigen bzw, dreieckigen Grundfläche, je nachdem, ob $0 < a < 1$ oder $1 \leq a < 2$ ist

(siehe beigefügtes Bild).

Fall $1 \leq a < 2$ : Die Grundfläche ist ein Dreieck mit den beiden rechtwinkligen Seiten der

Länge $2 - a$ .

$V_{1} = \frac{1}{2} \cdot (2 - a) \cdot (2 - a) \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot {(2 - a)}^{2}$

Fall $0 < a < 1$ : Die Grundfläche ist ein Fünfeck. Dessen Grundfläche berechnet man am

besten, in dem man von der Fläche des Quadrats die Fläche des grünen Dreiecks mit den

beiden rechtwinkligen Seiten der Länge a abzieht.

$V_{1} = (1 - \frac{1}{2} \cdot a \cdot a) \cdot 1 = 1 - \frac{1}{2} \cdot a^{2}$

Insgesamt haben wir:

$V_{1} = {\begin{matrix} 1 - \frac{1}{2} \cdot a^{2}, f ü r 0 < a < 1 \\ \frac{1}{2} \cdot {(2 - a)}^{2}, f ü r 1 \leq a < 2 \end{matrix}}$

$V_{2}$ kommt dann in der nächsten Nachricht.

maxsymca

22:20 Uhr, 12.07.2010

Hallo Yokozuna,

das simmt einiges an Deiner Argumentation nicht.
Wie kommst Du von der Schnittfläche auf das Volumen?

Yokozuna aktiv_icon

23:12 Uhr, 12.07.2010

Du hast jetzt bei Deinem Bild nur die schräge Fläche eingezeichnet, aber da gibt
es ja noch die senkrechte Ebene. Ich hatte ja in dem Bild Ebene1 dargestellt, wie
ich mir die Situation vorgestellt habe. Nachdem zu diesem Bild kein Einwand von
Dir kam, hatte ich angenommen, daß diese Darstellung ok ist.
So wie ich Dich jetzt verstehe, scheint die Situation eher wie in dem Bild, das ich
unten beigefügt habe, auszusehen. Das Volumen zwischen den beiden Ebenen bestünde
dann aus zwei Teilvolumina

V 2

und V?. Dann ist das, was ich da über

V 1

geschrieben
habe natürlich falsch. Vielleicht kannst Du mir nochmal mitteilen, ob die
Darstellung unten eher Deinen Vorstellungen von dem Problem entspricht.

cheek aktiv_icon

23:34 Uhr, 12.07.2010

Hi Yokozuna,
von mir kam ja die ursprüngliche Frage und von mir kommt auch kein Einwand. Das war ha-we, der / die da einen Einwand hatte. Bis jetzt konnte ich Deiner Argumentation sehr gut folgen und freue mich, dass Du mir so weiterhilfst! In der Tat gibt es ja auch noch die Situation, die Du in Deiner letzten Zeichnung dargestellt hast. Allgemein kann man die wohl nicht ausschließen. Aber das scheint wohl etwas schwerer zu sein, weswegen ich zunächst noch die anderen beiden Fälle nachvollziehen werde. Danke in jedem Fall für Deine Hilfe!
Cheek

Yokozuna aktiv_icon

23:46 Uhr, 12.07.2010

Man sollte doch immer genau hingucken, von wem die Mail kommt. Ich schicke Dir
morgen den Rest zu dem im Bild Ebene1 dargestellten Problem. Um dann die neue
Variante zu lösen, muß man dann "nur noch" die senkrechte Säule in zwei
Teilvolumina aufteilen.

maxsymca

10:06 Uhr, 13.07.2010

Yep, ziehe meinen Einwand zurück. Hab die Ebenen in Deinem Bild verwechselt.

Yokozuna aktiv_icon

11:27 Uhr, 14.07.2010

Also bei der Berechnung von V_2 sehe ich 4 Fälle:
Fall 1: 0<=b<a<=1
Fall 2: 1<=b<a<=2
Fall 3: 0<=b<1<a<=2 und a-b<=1
Fall 4: 0<=b<1<a<=2 und a-b>1

Für jeden der 4 Fälle habe ich eine Zeichnung beigefügt.

Fall 1: 0<=b<a<=1

Das zu berechnende Volumen ist in etwa ein liegendes, dreieckiges Prisma. Die Höhe des
Prismas ist gleich der Länge des Keils = $a \cdot \sqrt{2}$ und die Grundfläche ist ein
rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten $\frac{1}{2} \cdot (a - b)$ und $a - b$ (Höhe des Keils).
Damit erhält man zunächst

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot (a - b) \cdot (a - b) \cdot a \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot {(a - b)}^{2} \cdot a$ .
Von dem Prisma ragen aber zwei kleine dreieckige Pyramiden aus dem Würfel heraus. Die
müssen wir noch abziehen. Die Grundfläche der Pyramide ist ein gleichschenkliges,
rechtwinkliges Dreieck mit der langen Seite a-b und der Höhe $\frac{1}{2} \cdot (a - b)$ und die Höhe
ist gleich der Höhe des Keils $a - b$ . Das volumen der 2 Pyramiden ist als
$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (a - b) \cdot \frac{1}{2} \cdot (a - b) \cdot (a - b) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \cdot {(a - b)}^{3}$ . Das Gesamtvolumen ist dann:
$V_{2} = \frac{1}{2} \cdot {(a - b)}^{2} \cdot a - \frac{1}{6} \cdot {(a - b)}^{3} = \frac{1}{6} \cdot {(a - b)}^{2} \cdot (2 \cdot a + b)$

Fall 2: 1<=b<a<=2

Dieser Fall ist ähnlich wie Fall 1. Wir haben wieder ein liegendes, dreieckiges Prisma.
Die Höhe des Prismas ist wieder gleich der Länge des Keils, diesmal = $(2 - a) \cdot \sqrt{2}$ und
die Grundfläche ist das gleiche rechtwinklige Dreieck wie im Fall 1. Diesmal fehlen aber
zum vollständigen Volumen noch zwei Pyramiden mit den gleichen Dimensionen wie in Fall 1.
$V_{2} = \frac{1}{2} \cdot {(a - b)}^{2} \cdot (2 - a) + \frac{1}{6} \cdot {(a - b)}^{3} = \frac{1}{6} \cdot {(a - b)}^{2} \cdot (6 - 2 \cdot a - b)$

Fall 3: 0<=b<1<a<=2 und a-b<=1

Dieser Fall läßt sich weitestgehend auf die Fälle 1 und 2 zurückführen. Wir haben die
im Bild angedeuteten 3 Teilvolumina zu berechnen.

Das erste Teilvolumen läßt sich mit der Formel aus Fall 1 berechnen. Man muß dort nur
a=1 setzen:
$V_{T 1} = \frac{1}{6} \cdot {(1 - b)}^{2} \cdot (2 + b)$

Das dritte Teilvolumen läßt sich mit der Formel aus Fall 1 berechnen. Man muß dort nur
b=1 setzen:
$V_{T 3} = \frac{1}{6} \cdot {(a - 1)}^{2} \cdot (5 - 2 \cdot a)$

Das zweite Teilvolumen ist eine Säule mit der Höhe $1 - b$ und einer trapezförmigen
Grundfläche. Die Trapezfläche ist gleich der Fläche des gleichschenklig, rechtwinkligen
Dreiecks mit der Seitenlänge 1 minus der Grundfläche der von der senkrechten Ebene
abgeschnittenen dreieckigen Säule der Seitenlänge $2 - a$ , also:

$V_{T 2} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot {(2 - a)}^{2}) \cdot (1 - b) = \frac{1}{2} \cdot (1 - {(2 - a)}^{2}) \cdot (1 - b)$
Insgesamt erhält man: $V_{2} = V_{T 1} + V_{T 3} + V_{T 2}$ oder

$V_{2} = \frac{1}{6} \cdot {(1 - b)}^{2} \cdot (2 + b) + \frac{1}{6} \cdot {(a - 1)}^{2} \cdot (5 - 2 \cdot a) + \frac{1}{2} \cdot (1 - {(2 - a)}^{2}) \cdot (1 - b)$

Fall 4: 0<=b<1<a<=2 und a-b>1

Das Volumen für diesen Fall berechnet sich wie im Fall 3, wobei dort $a = b + 1$ zu setzen
ist und es kommt noch eine Trapezförmige Säule der Höhe 1 hinzu. Die Trapezfläche
berechnet man wieder als Differenz zweier gleichschenklig rechtwinkliger Dreiecke mit
den Seitenlängen $1 - b$ (für das größere Dreieck) und $2 - a$ (für das größere Dreieck).

$V_{2} = \frac{1}{6} \cdot {(1 - b)}^{2} \cdot (2 + b) + \frac{1}{6} \cdot b^{2} \cdot (3 - 2 \cdot b) + \frac{1}{2} \cdot (1 - {(1 - b)}^{2}) \cdot (1 - b) + \frac{1}{2} \cdot ({(1 - b)}^{2} - {(2 - a)}^{2})$

Das Volumen $V_{3}$ ergäbe sich dann als Differenz von $V_{1} + V_{2}$ zum Würfelvolumen, also $V_{3} {= 1 - V}_{1} - V_{2}$ .

Der Einwand von ha-we hat mich zu der Überzeugung gebracht, daß die Situation doch
eher dem Bild "Ebene3" entspricht. Es gibt eigentlich keinen Grund, warum die schräge
Ebene an der senkrechten Ebene enden soll. Genausogut könnte ja die senkrechte Ebene
an der schrägen Ebene enden. Deshalb muß man $V_{2}$ noch ergänzen um ein keilförmiges
Volumen an der Oberseite des Würfels und gleichzeitig wird die von der senkrechten
Ebene abgeschnittene dreieckige Säule um das gleich Volumen vermindert. Das möchte
ich mir als nächstes noch anschauen.

cheek aktiv_icon

23:39 Uhr, 14.07.2010

Wow, Yokozuna! Das ist so eine Hilfe! Ganz vielen Dank!

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