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Volumen eines Kegels maximieren

Universität / Fachhochschule

Tags: kegelförmige Tüte, kreisrundes Papier

Hase73 aktiv_icon

19:07 Uhr, 14.04.2014

Aus einem kreisrunden Papierstück mir dem Radius

R

soll eine kegelförmige Tüte hergestellt werden.
Wie muss das Papier zugeschnitten werden, wenn die fertige Tüte ein möglichst großes Volumen haben soll?

Mein Ansatz: Es muss aus dem Kreis ein Kreisausschnitt (Tortenstück) herausgeschnitten werden. Dann können zum Erstellen der kegelförmigen Tüte die Schnittstellen zusammengeklebt werden.
Frage: wie groß muss der Kreisausschnitt werden für ein maximales Kegelvolumen?

Weiter: Der Umfang der Kegelgrundfläche ist gleich dem nachbleibenden Kreisumfang ohne dem Kreisausschnittes.

Die Höhe des Kegels mit Phytagoras:

h^{2} = R^{2} - r^{2};

(r^{2}

ist Radius der Kegelgrundfläche)

Damit kann ich die Zielfunktion des Volumens erstellen. In dieser Gleichung ist dann unter anderem die Wurzel für

h

und die Gleichung muss differenziert werden.
Da stecke ich fest um nach dem Null setzen nach

x

auflösen zu können.

Danke für Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Edddi aktiv_icon

19:42 Uhr, 14.04.2014

V_{K} = A_{G} \cdot h = π \cdot r^{2} \cdot \sqrt{R^{2} - r^{2}}

mit

r = \frac{R \cdot φ}{2 \cdot π}

Jetzt über

V_{K}' (r) = 0

Lösungen für

r

berechnen. Und über

r = \frac{R \cdot φ}{2 \cdot π}

kannst du dann auch den Winkelfür den Kreisauschnitt angeben.

;-)

Hase73 aktiv_icon

20:08 Uhr, 14.04.2014

VK(r)

= Π \cdot r^{2} \cdot \sqrt{R^{2} - r^{2}}

wie komme ich weiter zu der Ableitung VK'(r) ohne die Produktregel und/oder Kettenregel anzuwenden, wenn man das noch nicht gehabt hat? Geht das überhaupt?

Edddi aktiv_icon

20:12 Uhr, 14.04.2014

. .

. wo Maximum von

V_{K} (r),

da ist auch das Maximum von

{(V_{K} (r))}^{2}

Quadriere also einfach die ganze Gleichung, dann braucht's keine Kettenregel oder Produktregel

;-)

Hase73 aktiv_icon

23:21 Uhr, 14.04.2014

Danke sehr, Edddi, nun ist alles klar.

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