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Volumen eines Tetraeders im Raum

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

ringko88 aktiv_icon

13:23 Uhr, 10.09.2017

Hallo,
ich habe einen Tetraeder gegeben, der durch folgende Punkte definiert ist:
A(3;6;0)
B(0;0;-3)
C(9;3;2)
D(9;3;8)

D ist die Spitze
ABC seine Grundseite
ABD & ACD & BCD seine Seiten

gegeben ist zudem noch seine Projektion auf die xy-Ebene, siehe erstes Bild (grün).

Nun soll ich die das Volumen mit Hilfe der Integralrechnung berechnen.
Dafür habe ich mir zunächst noch die Punkte in die xz-Ebene eingetragen und die verschiedenen Seiten eingezeichnet, um zu sehen, welche Verbindungen den Körper in z-Richtung begrenzen, siehe Bild 2 (blau).

Mein Lösungsansatz wäre nun folgende allgemeine Formel;

\int_{B} f (x, y, z,) d τ = \int_{x = a_{1}}^{x = a_{2}} (\int_{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)} (\int_{z_{1} (x, y)}^{z_{2} (x, y)} f (x, y, z) d z) d y) d x + \int_{x = a_{2}}^{x = a_{3}} (\int_{y_{3} (x)}^{y_{4} (x)} (\int_{z_{1} (x, y)}^{z_{2} (x, y)} f (x, y, z) d z) d y) d x

mit:

a_{1} = 0

a_{2} = 3

a_{3} = 9

y_{1} (x) = B ´ A ´

y_{2} (x) = B ´ C ´

y_{3} (x) = A ´ C ´

y_{4} (x) = B ´ C ´

z_{1} (x, y) =

Ebene aufgespannt von ABC

z_{2} (x, y) =

Ebene aufgespannt von ABD

f (x, y, z) = x * y * z

Ist meine Gedankengang so richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

22:06 Uhr, 10.09.2017

Hallo
deine Grenzen sehen ok aus, aber du musst über 1 integrieren, denn dV=dx*dy*dz und nicht

x \cdot y \cdot z d x \cdot d y \cdot d z

Gruß ledum

ringko88 aktiv_icon

11:21 Uhr, 11.09.2017

Achso! is ja logisch. durch die Stammfunktionen bekomme ich ja immer die Variablen rein. vielen Dank!!

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