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Volumenberechnung Paraboloid

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Paraboloid, volumenberechnung

Maxime aktiv_icon

21:45 Uhr, 14.08.2016

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe (siehe Bild

1)

. Mein Problem ist, dass ich den rot umrahmten Bereich absolut nicht nachvollziehen kann. Ich bin leider im Skript nicht fündig geworden oder ich übersehe permanent etwas.

Auf jeden Fall würde ich mich freuen, wenn mir jemanden helfen könnte zu verstehen, wie ich auf die Integrale komme.

Was ich weiß: Ein Paraboloid ist eine Fläche 2. Ordnung, die in den einfachsten Fällen folgendermaßen beschrieben wird:

P 1 : z = x^{2} + y^{2}

(elliptisches Paraboloid)

P 2 : z = x^{2} - y^{2}

(hyperbolisches Paraboloid)

Ich weiß aber nicht, ob es für diese Aufgabe von Belang ist.

Danke im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

22:27 Uhr, 14.08.2016

.
"Was ich weiß: Ein Paraboloid ist eine Fläche 2. Ordnung, ..."

\to

NEIN - es ist ein KÖRPER ..

\to

informiere dich (google zB: Paraboloid )

Im einfachsten Fall hier in deinem Beispiel ist das Paraboloid ein Rotationsparaboloid.

Das ist der Körper, der entsteht, wenn eine Parabel im Raum um ihre Achse rotiert.

hier:

z = 1 - x^{2} - y^{2}

beschreibt die Oberfläche des zu berechnenden Körpers

\to

Rotation einer nach unten geöffneten Parabel um die z-Achse

\to

Scheitel in

(0; 0; 1)

\to

Schnitt-Kreise in Höhenebenen mit

z = c

für

c \in (0; 1))

\to

zB Schnittkreis des Paraboloids in der xy-Ebene

\to z = 0

und

x^{2} + y^{2} \leq 1

Aufgabe ist

\to

berechnen Sie das VOLUMEN

. .

.

.

Roman-22

22:37 Uhr, 14.08.2016

>

"Was ich weiß: Ein Paraboloid ist eine Fläche 2. Ordnung, ..." → NEIN - es ist ein KÖRPER ..
Wirklich?

>

→ informiere dich (google zB: Paraboloid )
Den Rat kann man auch dir guten Gewissens geben.
Und "im Internet suchen" bedeutet nicht zwangsläufig "googlen"
http//duckduckgo.com/?q=Paraboloid

>

Das ist der Körper, der entsteht, wenn eine Parabel im Raum um ihre Achse rotiert.
Wenn eine Parabel um ihre Achse rotiert entsteht eben kein Körper, sondern "nur" eine Fläche 2.Ordnung.

>

→ Schnittkreis des Paraboloids in der xy-Ebene →x2+y2=1
Naja, jetzt scheinst du dir mit dir selbst nicht im Klaren zu sein, ob ein Paraboloid für dich jetzt ein Körper oder eine Fläche sein soll? Wäre es ein Körper, müsste es

x^{2} + y^{2} \leq 1

lauten.
Aber keine Sorge - der Fragesteller hatte schon Recht. Es ist eine Fläche gemeint.

rundblick aktiv_icon

23:21 Uhr, 14.08.2016

.
OK - Ein Paraboloid ist eine Fläche zweiter Ordnung (Quadrik)

.. hier soll nun das Volumen eines Körpers berechnet werden , der von einer solchen Fläche
und der in der Ebene

z = 0

liegenden Kreisfläche

\to x^{2} + y^{2} \leq 1

begrenzt wird..
Auch für einen solchen Körper ist der Name Paraboloid zu finden
hm..wie ist doch der Titel dieser Anfrage:
"Volumenberechnung Paraboloid" .. na ja...
.

Roman-22

00:03 Uhr, 15.08.2016

>

Auch für einen solchen Körper ist der Name Paraboloid zu finden
Ja, das ist richtig. Es ist eben Definitionssache und wie so oft in der Mathematik fehlt auch hier die allgemeingültige rechtsverbindliche Definition, weswegen es wenig hilfreich ist, rabulistisch auf "Fläche" oder "Volumen" zu beharren.
Auch die definitiv falsche Behauptung, durch Rotation einer Parabel würde ein Körper erzeugt werden findet sich das eine oder andere Mal in Netz. Es ist eben auf nichts mehr Verlass ;-)

Ist aber wie hier in der Angabe eine Gleichung (oder gegebenenfalls im Falle eines Körpers Ungleichung) gegeben, ist die Sache dann ja ohnedies zweifelsfrei und eindeutig.

R

Maxime aktiv_icon

10:14 Uhr, 15.08.2016

Um es jetzt Stück für Stück durchzugehen...

Das Integral mit

d z

fängt bei 0 an, weil der Scheitel des Paraboloid bezüglich der z-Ebene mit 0 anfängt und gemäß der Gleichung

z = 1 - x^{2} - y^{2}

weiterverläuft? Müsste mein Paraboloid nicht bei 1 anfangen? Wenn

x

und

y

gleich 0 sind, dann ist doch

z = 1

.

Beim zweiten Integral mit

d y

betrachte ich

x^{2} + y^{2}

kleiner-gleich 1 bzw. ich setze mein

z = 0,

woraus

0 = 1 - x^{2} - y^{2} \to 1 = x^{2} + y^{2} \to y^{2} = 1 - x^{2} y = \frac{+}{-}

Wurzel(1-x^2) ?

Und wie komme ich jetzt auf meine Grenzen für das Integral mit dx? Das kommt dann vom "Kreis das mein Paraboloid auf meine xy-Ebene abbildet"?

Maxime aktiv_icon

10:14 Uhr, 15.08.2016

Um es jetzt Stück für Stück durchzugehen...

Das Integral mit

d z

fängt bei 0 an, weil der Scheitel des Paraboloid bezüglich der z-Ebene mit 0 anfängt und gemäß der Gleichung

z = 1 - x^{2} - y^{2}

weiterverläuft? Müsste mein Paraboloid nicht bei 1 anfangen? Wenn

x

und

y

gleich 0 sind, dann ist doch

z = 1

.

Beim zweiten Integral mit

d y

betrachte ich

x^{2} + y^{2}

kleiner-gleich 1 bzw. ich setze mein

z = 0,

woraus

0 = 1 - x^{2} - y^{2} \to 1 = x^{2} + y^{2} \to y^{2} = 1 - x^{2} y = \frac{+}{-}

Wurzel(1-x^2) ?

Und wie komme ich jetzt auf meine Grenzen für das Integral mit dx? Das kommt dann vom "Kreis das mein Paraboloid auf meine xy-Ebene abbildet"?

Maxime aktiv_icon

10:18 Uhr, 15.08.2016

Dummer Fehler von mir. Mein Paraboloid "schwebt" in diesem Sinne über meine xy-Ebene, weshalb das Integral für

d z

bei 0 beginnt, weil ich die Fläche dazwischen berechnen will.

Für die anderen beiden Integrale habe ich aber immer noch ein Fragezeichen im Kopf. Vor allem verstehe ich nicht, warum ich für bspw. das Integral mit

d y

die Gleichung

y^{2} + x^{2} = 1

betrachte und für das Integral mit

d x

nicht mehr.

PS: Ich sehe gerade, dass ich oben ein "->" vergessen habe. Am Ende soll es heißen:

y^{2} = 1 - x^{2}

ABSTAND

y = \frac{+}{-}

Wurzl

(1 - x)

Roman-22

11:01 Uhr, 15.08.2016

>

Mein Paraboloid "schwebt" in diesem Sinne über meine xy-Ebene
Also "schweben" hätte ich das jetzt nicht genannt

Vielleicht ist es für deine Vorstellung günstiger, wenn du dich beim Nachvollziehen der Integralgrenzen von außen nach innen durchbeißt. Also mit der Integration über

x

beginnst.
Die Grenzen

- 1

bis

+ 1

sollten soweit klar sein. rundblick hatte dir ja schon die Gleichung des Schnittkreises des Paraboloids mit der Grundrissebene angegeben. Da dieser den Radius 1 hat, ergeben sich daraus nicht nur die Grenzen für

x,

sondern auch die für

y

. Überlege dir anhand der Kreisgleichung, in welchem Bereich sich

y

für einen bestimmten Wert

x

bewegen kann. Die Grenzen sind durch den Schnittkreis gegeben. Hast du dir aber oben ohnedies bereits richtig überlegt.
Na, und die z-Grenzen sind festgelegt durch die xy-Ebene

(z = 0)

und das Paraboloid selbst. Aber auch das hattest du ja schon geschrieben.

R

Maxime aktiv_icon

13:31 Uhr, 15.08.2016

"Also "schweben" hätte ich das jetzt nicht genannt"

Mein Fehler. Ich habe mir das falsch rum vorgestellt, aber im Grunde genommen, kommt es auf dasselbe hinaus. Die Spitze meines Paraboloids ist sozusagen bei

z = 1 - x^{2} - y^{2},

während der "Boden" bzw. die Schnittstelle bei 0 ist.

"Überlege dir anhand der Kreisgleichung, in welchem Bereich sich

y

für einen bestimmten Wert

x

bewegen kann. "

Das wäre ja 1 bzw.

- 1

.

Was mich ein wenig irritiert ist nur:

Warum ist das Integral für

x

von

- 1

bis 1 und nicht für

y

oder ist das irrelevant/egal? Es sollte ja im Allgemeinen einen Unterschied machen, ob mein

x

von

- 1

bis 1 geht oder mein

y

Maxime aktiv_icon

13:34 Uhr, 15.08.2016

Wobei das ein Kreis mit dem Radius von 1 über dem Nullpunkt ist. Das wäre also in diesem Falle vollkommen egal, was dann meine Frage beantworten würde. :-D)

Im Allgemeinen Fall jedoch: Dann müsste ich auf die Formel schauen oder? In der Formel müsste dann klar differenziert sein, in welche Richtung es wie stark geht.

Maxime aktiv_icon

13:50 Uhr, 15.08.2016

Gemeint ist

z . B

. sowas:

Angenommen für

z

würde stehen:

z = 2 - x^{2} - 4 y^{2}

mit denselben Bedingungen in der Aufgabe.

Für

x

hätte ich:

x = \frac{+}{-}

Wurzel

(2)

Für

y

hätte ich:

y = \frac{+}{-}

Wurzel

(\frac{1}{2})

jeweils für die Halbachsen.

Mein Integral würde bei einer solchen Bedingung

für die z-Richtung von 0 bis

2 - x^{2} - 4 y^{2}

für die x-Richtung von -Wurzel(2) bis Wurzel(2)

für die y-Richtung von -(Wurzel(2-x^2))/2 bis (Wurzel(2-x^2))/2

gehen?

Roman-22

14:02 Uhr, 15.08.2016

>

Die Spitze meines Paraboloids ist sozusagen bei z=1−x2−y2
Nein. "Spitze" ist hier überhaupt unangebracht und

1 - x^{2} - y^{2}

ist einfach die z-Koordinate des Punktes auf dem Paraboloid, der zu den

x -

und

y -

Koordinaten gehört.
Für ein fest vorgegebenes

x

(im gültigen Bereich

[- 1; 1])

und ein festes

y

(ebenfalls in seinem Gültigkeitsbereich, der abhängig von

x

ist) darf sich

z

eben nur im Bereich von 0 bis

1 - x^{2} - y^{2}

bewegen, wenn wir innerhalb des zu betrachtenden Volumens bleiben wollen.

>

"Überlege dir anhand der Kreisgleichung, in welchem Bereich sich

y

für einen bestimmten Wert

x

bewegen kann. "

>

Das wäre ja 1 bzw.

- 1

.
Eben nicht! wenn

x

0,7

ist, dann darf

y

nicht

0.9

sein. denn der Punkt

(0,7 / 0,9)

liegt nicht innerhalb der Kreisfläche und damit auch nicht mehr innerhalb des zu bestimmenden Volumens.

y

darf sich daher nur in

[- \sqrt{1 - x^{2}}, + \sqrt{1 - x^{2}}]

bewegen, also innerhalb des Kreises. Wenn

x = 1

ist, dann kommt überhaupz nur

y = 0

infrage und sonst kein Wert.

>

Warum ist das Integral für

x

von

- 1

bis 1 und nicht für

y

oder ist das irrelevant/egal?
Du kannst auch als äußerstes Integral jenes über

y

wählen (von

- 1

bis

1)

und dann erst über

x

integrieren (dann aber eingeschränkt auf den Bereich zwischen

\pm \sqrt{1 - y^{2}})

.
Du fängst mit irgendeiner Variablen an, die nächste ist aber dann schon von dieser abhängig und die letzte von beiden vorhergehenden.

Du könntest auch mit

z

beginnen von 0 bis zum Paraboloidscheitel bei 1 und dann überlegen, welche Einschränkungen sich für

x

und

y

ergeben. Je nach gewählter "Höhe"

z

durfen sich die Punkte in dieser Ebene dann eben nur mehr innerhalb eines Kreises bewegen, dessen Radius von

z

abhängig ist

(r (z) = \sqrt{1 - z})

>

Wobei das ein Kreis mit dem Radius von 1 über dem Nullpunkt ist. Das wäre also in diesem Falle vollkommen egal, was dann meine Frage beantworten würde. :-D))
???????????????????????????????????????

>

Im Allgemeinen Fall jedoch: Dann müsste ich auf die Formel schauen oder? In der Formel müsste dann klar differenziert sein, in welche Richtung es wie stark geht.
Naja, du überlegst mal bei einer der Variablen die maxmiale Ausdehnung. Das sind dann dafür die konstanten Grenzen und kommen ins äußere Interal. Und dann die nächste Variable davon abhängig, etc.
Je nach Aufgabe kann eine Wahl für die erste Wahl günstiger sein als eine andere.

R

Maxime aktiv_icon

16:20 Uhr, 15.08.2016

Ich habe mich ein wenig missverständlich ausgedrückt gehabt.

"Nein. "Spitze" ist hier überhaupt unangebracht und 1−x2−y2 ist einfach die z-Koordinate des Punktes auf dem Paraboloid, der zu den x− und y− Koordinaten gehört."

Gemeint war der Scheitel. Letztendlich soll ja die Fläche bzw. das Volumen zwischen xy-Ebene und des Paraboloids berechnet werden.

"Eben nicht!

[

...]"

Wäre

- 1

und 1 für

x = 0

. Das für

x = 1, y

nur 0 sein könnte, ist klar.

Was mich nur noch interessiert, ist, ob folgendes Beispiel richtig wäre, ansonsten wäre ich mit dem Verständnis dieses Themas soweit im Klaren:

Angenommen für

z

würde stehen:

z = 2 - x^{2} - 4 y^{2}

mit denselben Bedingungen in der Aufgabe.

Für

x

hätte ich: x=+/− Wurzel

(2)

Für

y

hätte ich: y=+/− Wurzel

(\frac{1}{2})

jeweils für die Halbachsen.

Mein Integral würde bei einer solchen Bedingung

für die z-Richtung von 0 bis

2 - x^{2} - 4 y^{2}

für die x-Richtung von -Wurzel(2) bis Wurzel(2)

für die y-Richtung von -(Wurzel(2-x^2))/2 bis (Wurzel(2-x^2))/2

Wäre das so richtig?

Roman-22

19:27 Uhr, 15.08.2016

>

Wäre das so richtig?
Ja, wenn du auf die Reihenfolge, wie deine Integrale geschachtelt sind, achtest.

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