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Volumenintegral Kegel

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Differentiation

Integration

Tags: Integration

mathe2468 aktiv_icon

11:21 Uhr, 01.07.2023

Hallo, könnte mir jemand helfen die Grenzen richtig zu wählen?

berechne das Volumenintegral über einen Kegel der Höhe

h

und dem Radius

r,

der auf der Spitze im
Ursprung steht für die funktion

z (x^{2} + y^{2})

die ersten beiden Grenzen für das dreifach integral habe ich als

(0, h)

(0,2pi) festgelegt und komme nicht mehr weiter. Ich habe viele verschiedene Grenzen ausprobiert, jedoch waren sie bisher nie richtig. wären die ersten beiden Grenzen überhaupt richtig? Ich bedanke mich im voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

15:53 Uhr, 01.07.2023

Hallo,

geht es um das Integral

\int \int \int_{K} z \cdot (x^{2} + y^{2}) d V

, wobei

K

der genannte Kegel sein soll?

Dieses Integral kann man auch wie folgt schreiben:

\int \int \int z \cdot (x^{2} + y^{2}) d x d y d z

Die Grenzen macht man dazu sinnvollerweise erst später.
Das der Kegel rotationssymmetrisch um die

z

-Achse ist, bieten sich hier auch gerne Zylinderkoordinaten an. (Mir scheint, du habest an so etwas gedacht, da du als Grenzen schonmal 0 bis

2 π

ins Spiel gebracht hast. Auch

(x, y, z) \mapsto z \cdot (x^{2} + y^{2})

weist die og Symmetrie auf, sodass man das Integral von den Grenzen her vereinfachen könnte.

Mit Zylinderkoordinaten (

x = r \cos (φ)

y = r \sin (φ)

z

unverändert) würde daraus (erst einmal ohne Grenzen):

\int \int \int r \cdot z \cdot (r^{2}) d r d φ d z

Zu den Grenzen im letzten Integral: Klar bewegt sich

r

(als Zylinderkoordinate) zwischen 0 und

r

(als Radius des Kegels).
Auch klar:

φ

bewegt sich zwischen 0 und

2 π

.
Bei

z

ist es nun so, dass

z

und

r

(als Zylinderkoordinaten) einander bedingen. Stelle dir dazu einen Schnitt durch den Kegel vor. (Zeichnung unten! Um die Zylinderkoordinaten von den gegebenen Größen zu unterscheiden, sei der Radius des Kegels mit

R

, dessen Höhe mit

H

bezeichnet.)

Es gilt dann

h = H - \frac{H}{R} \cdot r

, sodass das Integral in der Höhe von 0 bis

h

zu nehmen ist.

Wenn mich meine Erinnerung (die schon verdammt lange her ist) nicht trügt, müsste sich dann in Zylinderkoordinaten folgendes Integral ergeben:

\int_{r = 0}^{r = R} \int_{φ = 0}^{φ = 2 π} \int_{z = 0}^{z = h = H - \frac{H}{R} r} r^{3} \cdot z d r d φ d z

Nun liegt es an dir, erst einmal zu schreiben, ob ich richtig interpretiert habe und ob du die Zylinderkoordinaten kennst (also verwenden darfst).
Die anderen dürfen gerne mal schauen, ob ich das vielleicht doch mittlerweile zu sehr vergessen habe und Fehler eingebaut habe.

Mfg Michael

pwmeyer aktiv_icon

19:20 Uhr, 01.07.2023

Hallo MIchal,

"guck" ich schief oder hat Dein Kegel seine Spitze nicht im Ursprung?

Gruß pwm

michaL aktiv_icon

19:25 Uhr, 01.07.2023

Hallo,

recht hast du.
Das erfordert ein wenig Umdenken, ist wohl aber insgesamt einfacher, weil dann

r \sim h

gilt. wenn ich das richtig sehe.
Also

h = \frac{H}{R} \cdot r

.

Mfg Michael

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