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Volumenintegral | Massenträgheitsmoment

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Massenträgheitsmoment eines Vollzylinders in kartesisschen Koordinaten

NEPH1L1M aktiv_icon

21:30 Uhr, 28.02.2014

Hallo,

ich habe die Aufgabe das Massenträgheitsmoment für einen Vollzylinder, dessen Drehachse senkrecht zur Schwerachse läuft, herzuleiten. Dies nicht in Zylinderkordinaten sondern in kartesischen Koordinaten!

=> commons.wikimedia.org/wiki/File:Traegheit_e_vollzylinder_2.png

Ich habe wie folgt das Integral aufgestellt:

d m = ϱ \cdot V = ϱ \cdot d z \cdot d y \cdot d x

R =

Radius des Zylinders (auf der x-Achse)

l / 2

= Länge des Zylinders (in Richtung der y-Achse)

z (x) = \sqrt{R^{2} - x^{2}}

(<- Halbkreis)

Θ_{z} = \int_{(} r^{2}) d m = \int_{(} x^{2} + y^{2}) ϱ \cdot d z \cdot d y \cdot d x = \int_{- R}^{R} \int_{- l / 2}^{l / 2} \int_{- \sqrt{R^{2} - x^{2}}}^{\sqrt{R^{2} - x^{2}}} (x^{2} + y^{2}) \cdot ϱ \cdot d z \cdot d y \cdot d x

Ist das Integral korrekt aufgestellt?

Danke im voraus für euere Hilfe !

Neph

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

anonymous

23:26 Uhr, 28.02.2014

Hallo

a)

Du schreibst (sinngemäß mehrfach): "dV = dz*dy*dy"
Gemeint war sicherlich: dV=

d z \cdot d y \cdot d x

b)

Aus "l/2 = Länge des Zylinders (In Richtung der y-Achse)" wage ich verstanden zu haben, dass du die y-Achse des Koordinatensystems auf die Zylinderachse gelegt verstanden wissen willst.

c)

Dann halte ich den Ansatz für vielversprechend.
Weiter so!

NEPH1L1M aktiv_icon

10:38 Uhr, 01.03.2014

Hallo, ja klar, ich meinte

d V = d z \cdot d y \cdot d x

Nicht korrekt geschrieben :(
Und ja, die y- Achse ist die Schwereachse und l ist die Länge
des Zylinders.

Gut , dann poste ich später meine einzelnen Integrationsschritte.

Gruss Neph

NEPH1L1M aktiv_icon

15:51 Uhr, 01.03.2014

Hallo cositan,

1. Integration nach dz:

\int_{- \sqrt{R^{2} - x^{2}}}^{\sqrt{R^{2} - x^{2}}} (x^{2} + y^{2}) d z

= x^{2} \cdot z + y^{2} \cdot z ∣^{{\sqrt{R^{2} - x^{2}}}_{- \sqrt{R^{2} - x^{2}}}}

= [(x^{2} + y^{2}) \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}}] - [(x^{2} + y^{2}) \cdot - \sqrt{R^{2} - x^{2}}]

= 2 \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} \cdot (x^{2} + y^{2})

2. Integration nach dy:

= \int_{- \frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} 2 \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} \cdot (x^{2} + y^{2}) d y

= 2 \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} (x^{2} y + \frac{1}{3} y^{3}) ∣^{\frac{l}{2}}_\frac{l}{2}

= [2 \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} \cdot (\frac{l}{2} \cdot x^{2} + \frac{l}{24} \cdot l^{3})] - [2 \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} \cdot (- \frac{l}{2} \cdot x^{2} - \frac{1}{24} \cdot l^{3})]

= 2 \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} \cdot l x^{2} + \frac{1}{6} \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} \cdot l^{3}

3. Integration nach dx:

= \int_{- R}^{R} 2 \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} \cdot l x^{2} + \frac{1}{6} \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} \cdot l^{3} d x

nach Wolfram Alpha ist das Integral

= \frac{l}{12} \cdot l [x \sqrt{R^{2} - x^{2}} \cdot (l^{2} - 3 R^{2} + 6 x^{2}) + R^{2} \cdot (l^{2} + 3 R^{2}) \cdot a r c t a n (\frac{x}{\sqrt{R^{2} - x^{2}}}) ∣^{R}_- R)

Um hier nicht = 0 herauszubekommen , muß ich doch

a r c t a n \frac{R}{0} = lim_{t \to \infty} (a r c t a n (t) = \frac{π}{2})

annehmen ?

Mit Hilfe einer Wiki-Integraltafel würde das Integral so aussehen

\int_{}^{} x^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x = \frac{1}{8} (2 x^{3} \sqrt{a^{2} - x^{2}} - x a^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}} + a^{4} a r c s i n \frac{x}{a}

mit

a r c s i n \frac{R}{R} = a r c s i n (1) = \frac{π}{2}

dieses "Gleichung "

Θ_{z} = \frac{l}{12} \cdot l [x \sqrt{R^{2} - x^{2}} \cdot (l^{2} - 3 R^{2} + 6 x^{2}) + R^{2} \cdot (l^{2} + 3 R^{2}) \cdot a r c t a n (\frac{x}{\sqrt{R^{2} - x^{2}}}) ∣^{R}_- R)

aufgelöst (R und -R eingesetzt) ergibt leider nicht das Ergebnis

Θ_{z} = \frac{m}{12} \cdot (3 R^{2} + l^{2})

Wo ist der Fehler?

Gruß NEPH

NEPH1L1M aktiv_icon

18:17 Uhr, 03.03.2014

** push **

anonymous

00:47 Uhr, 05.03.2014

Hallo
In der Zeile vor "3. Integration nach dx" schreibst du:

= ... + \frac{l}{6} \cdot \sqrt{...}

Wenn wir uns einig sind, dass das ein Leichtsinnsfehler war, und es eigentlich heissen hätte sollen:

= ... + \frac{1}{6} \cdot \sqrt{...}

dann sind wir uns einig.

Dann bin ich auch mit der folgenden Zeile nach "3. Integration nach dx" noch voll bei dir.

Dann fängst du an zu schludern und ich habe nicht Lust, diesem Hick-Hack zu folgen.

Nach meiner Integral-Tabelle gilt:

2 \cdot ρ \cdot l \cdot \int x^{2} \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} \cdot d x = 2 \cdot ρ \cdot l \cdot \frac{1}{8} \cdot [R^{2} \cdot x \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} - 2 \cdot x \cdot {\sqrt{R^{2} - x^{2}}}^{3} +

R^4*arcsin(x/(|R|))

]

und

ρ \cdot \frac{l^{3}}{6} \int \sqrt{R^{2} - x^{2}} \cdot d x = ρ \cdot \frac{l^{3}}{6} \cdot \frac{1}{2} \cdot [x \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} +

R^2*arcsin(x/(|R|))

]

Dann noch konsequent zwei bis drei Zeilen..., und du bist beim gewünschten Ergebnis.
Viel Spaß!

anonymous

00:50 Uhr, 05.03.2014

PS:
Was verstehst du eigentlich unter einer "Schwerachse" oder "Schwereachse"?
Wenn du die Zylinderachse meinst, dann benenne doch bitte auch die Zylinderachse.
:-)

NEPH1L1M aktiv_icon

18:24 Uhr, 05.03.2014

Hallo cositan,
Danke zunächst für deine weitere Unterstützung.

Das sollte

1 / 6 * \sqrt{. . .}

heißen.

Das von dir erwähnte Integral gemäß Integraltafel, muss ich abgleichen.
Habe ich mich da verguckt?

Melde mich.

Gruss

NEPH1L1M aktiv_icon

20:08 Uhr, 08.03.2014

Hallo Cositan,

ein kleiner Fehler hat sich bei deinem Integral eingeschlichen:

{\sqrt{R^{2} - x^{2}}}^{3}

ist falsch.

Die Lösung habe ich jetzt herausbekommen :-).

Und zwar auch mit “der Wolfram~Alpha Lösung“, hatte nur das

\frac{Π}{2}

aus dem Term

a r c t a n \frac{x}{\sqrt{R^{2} - x^{2}}}

nicht korrekt mit dem Rest multipliziert.

Werde morgen alles posten.

Danke dir auf jeden Fall.

Gruss Neph

NEPH1L1M aktiv_icon

20:16 Uhr, 08.03.2014

PS: Zur Schwereachse :-)

Hier meine ich natürlich die Achse(n) durch den Schwerpunkt gehen, also die Hauptträgheitsachsen.

aleph-math aktiv_icon

07:26 Uhr, 09.03.2014

** Entwurf - gelöscht..

aleph-math aktiv_icon

07:40 Uhr, 09.03.2014

Gu. Morgen!

Hauptachsen gibt's aber 3: d. Längsachse (hier offenb. y) & 2 Quer achsen (x & z). Aus d. Aufg.stellg. geht nicht schlüssig hervor, welche d. Rot.achse ist, wobei allerd. x & z f.d. Moment gleichwertig sind.

And. Frage: wie könnte man ohne Tafel auf d. Integral kommen? Ich hab's "straight fwd" mit part. Integr. & Substit. versucht, bleiben immer Wurzelungetüme. Es sieht doch einigerm. abenteuerlich aus; d. Diff.probe geht zwar auf u. "rückwärts" ist d. Weg klar, aber wie & wer hat das erstmals gelöst? Altmeister Gauß o. Euler viell.? ;-)

@neph..: d. Errata ist m.M. unberechtigt. In meiner Sammlg ist d. Stammfkt. v.

\sqrt{x}

eben

\sqrt{x^{3}} = x^{3 / 2} = (\sqrt{x})^{3}

. "cosi.."s Form ist viell. ein bißchen mißverständl., aber korrekt.

Schönes WE!

NEPH1L1M aktiv_icon

12:58 Uhr, 09.03.2014

Hallo aleph-math,

ja es gibt 3 Hauptachsen. Ich hoffte in meiner Skizze (Beitrag #4) wäre es ersichtlich, das der zylinder um die z-Achse rotiert.

Zu dem Integral von cositan

2 \cdot ρ \cdot l \cdot \int_{}^{} x^{2} \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} d x

2 \cdot ρ \cdot l \cdot \frac{1}{8} \cdot [x \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} - 2 \cdot x \cdot {\sqrt{R^{2} - x^{2}}}^{3} + R^{4} \cdot a r c s i n \frac{x}{R}

, in den Sammlungen dich ich konsultierte war für Integrale der Form

\int_{}^{} x^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}}

die Stammfunktion

\frac{1}{8} \cdot (2 x^{3} \sqrt{a^{2} - x^{2}} - x a^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}} + a^{4} \cdot a r c s i n \frac{x}{a})

Für die Lösung meiner Aufgabe, hat es eh keine Auswirkung da die Wurzelausdrücke alle NULL werden

\sqrt{R^{2} - x^{2}}

mit

x = \pm R

.

Gruß Neph

NEPH1L1M aktiv_icon

13:49 Uhr, 09.03.2014

3´te Integration nach dx

Erstes Integral

= > 2 \cdot ρ \cdot l \cdot \int_{- R}^{R} x^{2} \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} d x

\frac{1}{8} \cdot {[2 x^{3} \sqrt{R^{2} - x^{2}} - x \cdot R^{2} \sqrt{R^{2} - x^{2}} + R^{4} \cdot a r c s i n \frac{x}{R}]}_{- R}^{R}

= 2 \cdot ρ \cdot l \cdot [\frac{1}{8} \cdot [(R^{4} \cdot a r c s i n \frac{R}{R}) - (R^{4} \cdot a r c s i n \frac{- R}{R})]]

= 2 \cdot ρ \cdot l \cdot [\frac{1}{8} \cdot [(R^{4} \cdot \frac{π}{2}) - (R^{4} \cdot - \frac{π}{2})]]

= 2 \cdot ρ \cdot l \cdot [\frac{1}{8} \cdot (R^{4} \cdot \frac{π}{2} + R^{4} \cdot \frac{π}{2})]

= \frac{1}{4} \cdot ρ \cdot l \cdot R^{4} \cdot π

Zweites Integral:

+ \frac{1}{6} \cdot ρ \cdot l^{3} \cdot \int_{- R}^{R} \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} d x

= \frac{1}{6} \cdot ρ \cdot l^{3} {\cdot [\frac{x}{2} \sqrt{R^{2} - x^{2}} + \frac{R^{2}}{2} \cdot a r c s i n \frac{x}{R}]}_{- R}^{R}

= \frac{1}{6} \cdot ρ \cdot l^{3} {\cdot \frac{1}{2} \cdot [x \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} + R^{2} \cdot a r c s i n \frac{x}{R}]}_{- R}^{R}

= \frac{1}{6} \cdot ρ \cdot l^{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot [(R^{2} \cdot a r c s i n \frac{R}{R}) - (R^{2} \cdot a r c s i n \frac{- R}{R})]

= \frac{1}{6} \cdot ρ \cdot l^{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot [(R^{2} \cdot \frac{π}{2}) - (R^{2} \cdot - \frac{π}{2})]

= \frac{1}{6} \cdot ρ \cdot l^{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot [R^{2} \cdot \frac{π}{2} + R^{2} \cdot \frac{π}{2}]

= \frac{1}{12} \cdot ρ \cdot l^{3} \cdot R^{2} \cdot π

= > 2 \cdot ρ \cdot l \cdot \int_{- R}^{R} x^{2} \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} d x

\frac{1}{6} \cdot ρ \cdot l^{3} \cdot \int_{- R}^{R} \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} d x

= \frac{1}{4} \cdot ρ \cdot l \cdot R^{4} \cdot π + \frac{1}{12} \cdot ρ \cdot l^{3} \cdot R^{2} \cdot π

= \frac{3}{12} \cdot R^{2} \cdot (R^{2} \cdot π \cdot l \cdot ρ) + \frac{1}{12} \cdot l^{2} \cdot (R^{2} \cdot π \cdot l \cdot ρ)

mit

m = V \cdot ρ = (π \cdot R^{2} \cdot l) \cdot ρ

für den Vollzylinder folgt, für das Massenträgheitsmoment um z:

θ_{z} = \frac{m}{12} \cdot (3 \cdot R^{2} + l^{2})

NEPH1L1M aktiv_icon

14:16 Uhr, 09.03.2014

Natürlich geht es auch mit dem mit Wolfram Alpha gelöstem Integral:

= ρ \cdot \frac{1}{12} \cdot l \cdot {[x \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} \cdot (l^{2} - 3 R^{2} + 6 x^{2}) + R^{2} \cdot (l^{2} + 3 R^{2}) \cdot a r c t a n (\frac{x}{\sqrt{R^{2} - x^{2}}})]}_{- R}^{R}

Mit der Definition:

a r c t a n \frac{R}{0} = lim_{t \to \infty} [a r c t a n (t) = \frac{π}{2}]

wird

= ρ \cdot \frac{1}{12} \cdot l \cdot {[x \cdot \sqrt{R^{2} - x^{2}} \cdot (l^{2} - 3 R^{2} + 6 x^{2}) + R^{2} \cdot (l^{2} + 3 R^{2}) \cdot a r c t a n (\frac{x}{\sqrt{R^{2} - x^{2}}})]}_{- R}^{R}

= ρ \cdot \frac{1}{12} \cdot l \cdot [(R^{2} \cdot (l^{2} + 3 R^{2}) \cdot a r c t a n (\frac{R}{\sqrt{R^{2} - R^{2}}})) - (R^{2} \cdot (l^{2} + 3 R^{2}) \cdot a r c t a n (\frac{- R}{\sqrt{R^{2} - (- R)^{2}}})]

= ρ \cdot \frac{1}{12} \cdot l \cdot [(R^{2} \cdot (l^{2} + 3 R^{2}) \cdot a r c t a n (\frac{R}{0})) - (R^{2} \cdot (l^{2} + 3 R^{2}) \cdot a r c t a n (\frac{- R}{0}))]

= ρ \cdot \frac{1}{12} \cdot l \cdot [(R^{2} \cdot l^{2} + 3 R^{4}) \cdot \frac{π}{2}) - ((R^{2} \cdot l^{2} + 3 R^{4}) \cdot - \frac{π}{2})]

= ρ \cdot \frac{1}{12} \cdot l \cdot [(R^{2} \cdot l^{2} \cdot \frac{π}{2} + 3 R^{4} \cdot \frac{π}{2}) - (- R^{2} \cdot l^{2} \cdot \frac{π}{2} - 3 R^{4} \cdot \frac{π}{2})]

= ρ \cdot \frac{1}{12} \cdot l \cdot [R^{2} \cdot l^{2} \cdot \frac{π}{2} + 3 R^{4} \cdot \frac{π}{2} + R^{2} \cdot l^{2} \cdot \frac{π}{2} + 3 R^{4} \cdot \frac{π}{2}]

= ρ \cdot \frac{1}{12} \cdot l \cdot [R^{2} \cdot l^{2} \cdot π + 3 R^{4} \cdot π]

= ρ \cdot \frac{1}{12} \cdot [R^{2} \cdot l^{3} \cdot π + 3 R^{4} \cdot π \cdot l]

= \frac{1}{12} \cdot [m \cdot l^{2} + 3 R^{2} \cdot m]

θ_{z} = \frac{m}{12} \cdot [3 R^{2} + l^{2}]

wie oben.

Gruß und vielen Dank an euch beide.

NEPH1L1M aktiv_icon

15:51 Uhr, 27.03.2014

Hallo nochmal.

Ich wollte die Aufgabe gerne , zur Abrundung und Übung, mit Polarkoordinaten rechnen, kommen aber nicht auf dasselbe Ergebnis.

Mein Ausgangsintegral wäre:

\int \int \int (R^{2} \cdot s i n^{2} φ + y^{2}) \cdot R \cdot d R \cdot d φ \cdot d y \cdot ρ

d V = R \cdot d φ \cdot d r \cdot d y

= > d m = d V \cdot ρ = [R \cdot d φ \cdot d r \cdot d y] \cdot ρ

mit den Integrationsgrenzen:

d R :

0

bis

R

\int_{0}^{R}

d φ :

0

bis

2 π

\int_{0}^{2 π}

d y :

\frac{- l}{2}

bis

\frac{l}{2}

\int_{\frac{- l}{2}}^{\frac{l}{2}}

ich bekomme am Ende

= ρ \cdot (\frac{1}{6} \cdot π R^{2} l^{3} + π R^{4} l)

heraus, was falsch ist.

Danke für eure Mithilfe

Grüße Neph

anonymous

22:36 Uhr, 27.03.2014

Hallo
Auch ohne Skizze ahne ich, dass schon dein Ansatz ("Ausgangsintegral") falsch ist.

a)

eine Skizze wäre auf jeden Fall hilfreich, damit der Leser verstehen kann, was die Größen

R, φ, r

bedeuten, und wie du sie ausgerichtet hast. Dass

y

wieder die selbe Bedeutung hat, ahne ich.

b)

Schon die Dimensionen sind falsch.
Das Massenträgheitsmoment hat doch die Dimension
Masse

\cdot

Länge^2
oder
Dichte

\cdot

Länge^5
Dein Ansatz ("Ausgangsintegral") hat

b . 1)

gar keine Dichte

b . 2)

wenn wir mal davon ausgehen dürfen, dass du den Faktor Dichte

(ρ)

einfach vergessen hast, die Dimension
Dichte

\cdot

Länge^6
dat ka nit

sin!

c)

In Polarkoordinaten werden deine Integralgrenzen sicherlich nicht so einfach. Ich ahne, dass du für die Polarkoordinaten die z-Achse als die Polar-Koordinatensystem-Achse wählen willst.
Bedenke:

>

ein Teil der Radien sind durch die Zylindermantelfläche begrenzt.

>

ein Teil der Radien sind durch die Deck-Kreisebenen begrenzt.
Du wirst nicht um eine Fallunterscheidung herum kommen.

NEPH1L1M aktiv_icon

09:49 Uhr, 28.03.2014

Hallo Cositan,

dank zunächst für deine schnelle Rückantwort.

Eine Skizze findest du weiter oben. Es ist alles gleich geblieben, die Drehachse steht senkrecht auf der Y-Achse und x-Achse und um z soll das Massenträgheitsmoment

θ_{z} = \int_{V} ρ \cdot (x^{2} + y^{2}) \cdot d x d y d z

berechnet werden, wie oben bereits mit kartesischen Koordinaten geschehen.

Sorry das Dichte Symbol habe ich vergessen.

Für ein Volumenelement in Zyl.koordinaten git doch:

d V = r \cdot d φ \cdot d r \cdot d z

bei mir ist

d y = d z

Für

x^{2}

also den Abstand eines Masselementes

d m

zur z-Achse habe ich

R^{2} \cdot c o s^{2} φ

bzw.

R^{2} \cdot s i n^{2} φ

eingesetzt.

Und ich komme ja zum Schluß fast auf das richtige Ergebnis, also ich kann die Masse
auch vor die Klammer ziehen (

π \cdot R^{2} \cdot l \cdot ρ)

Rauskommen sollte :

θ_{z} = \frac{m}{12} \cdot (3 R^{2} + l^{2})

ich bekomme

θ_{z} = \frac{m}{6} \cdot (6 R^{2} + l^{2})

heraus.

Gruß Neph1

anonymous

11:12 Uhr, 28.03.2014

a)

Nein, du hast noch keine geeignete Skizze angeboten.
Ich vermute, du sprichst die Skizze vom

01

. März an. Die war für karthesische Denkweise. Aus der ist nicht ersichtlich

>

wie du den Radius

r

verstehst,

>

wie du den Winkel

φ

verstehst.
Bitte eine Skizze, sonst sind sämtliche Leser auf Spekulationen angewiesen und Missverständnisse vorprogrammiert.

zu

b)

Sorry, ich habe es mir nochmals angeschaut. Hier war ich vorschnell und unkonzentriert. Ich hatte auf die Schnelle die Dimension des Winkels

d φ

fälschlich als Längen-Dimension interpretiert. Ja, deine Dimensionen passen.

zu

c)

Ich ahne, dass du unter "r" den Abstand eines Volumenelements zur z-Achse meinst.
Schon das innerste Integral weist fragwürdige Grenzen auf.
Du schreibst (sinngemäß):

\int_{r = 0}^{R}

dr

Machen wir es uns doch mal einfach. Betrachten wir einfach den Fall

z = 0, d . h

. wir bleiben mal in der xy-Ebene.
Wenn wir den Durchstoßpunkt der x-Achse durch die Zylinderfläche betrachten, dann hast du recht.

r

wird maximal R.
Aber je weiter wir axial

(\in

y-Richtung) fortschreiten, desto größer wird doch unser Grenz-r, nämlich:
r_Grenz

= \sqrt{R^{2} + y^{2}}

Das natürlich nur, bis wir an die Zylinder-Deckfläche gelangen.
An der Kante

(x = R; y = \frac{l}{2}; z = 0)

ist unser Grenz-r doch
r_Grenz

= \sqrt{R^{2} + {(\frac{l}{2})}^{2}}

Und wenn wir uns jetzt auf der Kreisebene weiter Richtung y-Achse bewegen, dann wird unser Grenz-r doch wieder kleiner.
r_Grenz

= \sqrt{x^{2} + {(\frac{l}{2})}^{2}}

Und wie gesagt, diese Betrachtung gilt nur für die

z = 0

Ebene.
Im allgemeinen Fall, also in irgendeiner z-Position wird die ganze Sache doch noch abhängig von dieser z-Koordinate.

Das wird nicht leicht. Und wie gesagt, du wirst nicht um eine Fallunterscheidung rum kommen.

NEPH1L1M aktiv_icon

12:07 Uhr, 28.03.2014

Hallo,
ich werde eine Skizze nachliefern.

Was meinst du mit Fallunterscheidung ?

θ_{z}

beim Vollzylinder ist doch eindeutig !?
Die Z-Achse, x- und y-achse treffen sich alle in der Mitte des Vollzylinders mit dem Radius R und der Länge L. Wenn auf die Kreisfläche draufschaut, steht die z-Achse senkrecht auf die Querachse x des Kreises. Die Kreisfläche bzw.

d A

ist ja durch

R \cdot d φ \cdot d R

definiert. Der Kreisradius

R^{2}

kann durch

(R \cdot s i n φ)^{2} + (R \cdot c o s φ)^{2}

ausgedrückt werden.

(R c o s φ)^{2}

ist gleichzeitig der senkrechte Abstand - in x-Richtung - eines Masseelementes

d m

von der z-Achse. Jetzt noch den Abstand dieses/dieser Masselemente(s) in die y-Richtung angeben, also

y

in den Grenzen

+ \frac{l}{2} / - \frac{l}{2}

.

Wenn das Volumenelement in dem Integral stimmt - was du ja bestätigt hast - dann kann der Fehler eigentlich nur noch in

r^{2}

(x^{2} + y^{2})

R^{2} c o s^{2} φ + y^{2})

liegen.

Ich habe mir im Web schon vieles dazu angesehen, auf dem Matheplanet wird der Fall dargestellt, aber ich komme mit der Lösung dort auch nicht klar. Dort wurden Symetrien ausgenutzt?!

Alle anderen zeigen nicht die Zwischenschritte wie hier z.B.:

http://th.physik.uni-frankfurt.de/~luedde/Lecture/Mechanik/Intranet/Skript/Kap7/node5.html

Gruß Neph1

anonymous

12:30 Uhr, 28.03.2014

Pass mal auf Nephilim,
Ich ahne, dass wir uns missverstehen,
ich ahne, dass bei dir die Koordinaten wild hin und hergewürfelt werden, frei nach dem Motto, wie es gerade so passt,
ich ahne, dass ich im letzten Beitrag ungefähr

500

Worte geschrieben habe, mir Mühe gemacht habe, und du nicht bereit bist, zu lesen, zu verstehen, zu skizzieren, Systematik rein zu geben,
ich ahne, dass wir weiter kämen, wenn wir endlich die Koordinaten auf saubere Füsse stellten.

Also: LETZTE CHANCE!

a)

entweder eine aussagekräftige Skizze, aus der die Koordinatenfestlegung

r

und

φ

eindeutig klar wird,

b)

oder dies war mein letztes Wort!

NEPH1L1M aktiv_icon

13:21 Uhr, 28.03.2014

Skizze kommt - sitze am Notebook, muss erst eine am PC erstellen.

Bitte noch um etwas Geduld, vielen Dank.

Gruß

NEPH1L1M aktiv_icon

18:15 Uhr, 28.03.2014

So anbei die Skizze - nicht schön, aber ich hoffe sie hilft:

Ist wie gesagt, vergleichbar wie in dem weblink
http://th.physik.uni-frankfurt.de/~luedde/Lecture/Mechanik/Intranet/Skript/Kap7/node5.html

Dort ist die y-achse was bei mir dir z-Achse ist.

Grüße Neph

anonymous

09:24 Uhr, 29.03.2014

Hallo Nephilim
Lass uns zur Verständigung den Koordinatensystemen Namen geben.

a)

Koordinatensystem A

>

ist karthesisch

>

wurde von dir am

01.03.14

15.51 h

beschrieben

>

die Zylinderachse ist die y-Achse

b)

Koordinatensystem

B

>

wurde von dir am

28.03.14

18.15 h

versucht zu bescheiben

>

soll vermutlich zylindisch sein

>

die Skizze besteht aus zwei Ansichten

〉

die perspektivische Ansicht links deutet an, dass der Radius als Abstand zur z-Achse zu verstehen ist,

〉

die Ansicht rechts ist eine Ansicht in y-Richtung und deutet an, dass der Radius als Abstand zur y-Achse zu verstehen ist,

>

ist in so fern widersprüchlich und weiter erklärungsbedürftig.

c)

Koordinatensystem

C

>

ist zylindrisch

>

wird durch die drei Koordinaten

r, β, y

beschrieben
Erläuterung:

>

der Radius

r

ist der Abstand zur y-Achse

>

der Winkel

β

ist der Winkel zwischen

〉

der x-Achse

〉

und der Projektion des Radius auf die xz-Ebene.

d)

Koordinatensystem

D

>

ist zylindrisch

>

wird durch die Koordinaten

r, γ, z

beschrieben
Erläuterung:

>

der Radius

r

ist der Abstand zur z-Achse

>

der Winkel

γ

ist der Winkel zwischen

〉

der x-Achse

〉

und der Projektion des Radius auf die xy-Ebene.

Lieber Nephilim, es liegt nun an dir, zu klären, welches Koordinatensystem dir am Herzen liegt. Wir vermuten, es ist ein zylindrisches. Falls dir ein "Koordinatensystem B" im Geist umgehen sollte, dann wie gesagt, dann wäre dies noch weiter erklärungsbedürftig.

NEPH1L1M aktiv_icon

10:03 Uhr, 29.03.2014

Hallo, guten Morgen cositan,

danke für deine Mühe - ich steh irgendwie auf dem Schlauch!

Das Koordinatensystem hat sich was die Achsen x-y-z in kartesischen Koordinaten
betrifft, nicht geändert!?
Die Aufgabe ist diesselbe wie in kartesischen Koordinaten.

Koordinatensystem B und D sind doch gleich. Dein

γ

ist bei mir das

φ

.

R = Radius der beiden Kreisflächen des Vollzylinders
r ist der senkrechte Abstand der Massenelemente zur z-Achse und entspricht dem

r

im Integral

θ_{z} = \int_{m} r^{2} d m

Gruß Neph

Anmerkung: Die zweite und dritte Skizze(von links aus gesehen) in meinem letzten Post oben, sind aus dem Skript der Uni Frankfurt. Dort ist "meine" Aufgabe dargestellt, nur das eben die y-achse und z-achse vertauscht sind.

anonymous

11:34 Uhr, 29.03.2014

Deine Aufgabe war, zu klären, welches Koordinatensystem dir am Herzen liegt.
Du weichst zwar aus, aber ich ahne aus deinem letzten Beitrag, dass es das Koordinatensystem

D

ist.
Gut - einigen wir uns auf das Koordinatensystem

D!

Dann empfehle ich dir, nochmals meinen Beitrag vom

28.03.1411 : 12 h

zu lesen und zu studieren. Auch darin beziehe ich mich gedanklich und erklärtermaßen auf das Koordinatensystem D.

NEPH1L1M aktiv_icon

13:21 Uhr, 29.03.2014

Hallo cositan,
es liegt mir fern auszuweichen :-)

Ich denke ich habe meinen Fehler gefunden.

Das Integral

θ_{z} = \int_{V} (R^{2} s i n^{2} (φ) + y^{2}) d R \cdot R \cdot d φ \cdot d y \cdot ρ

war schon korrekt.
Ich habe aber einen Fehler beim Integral

\int_{0}^{R} (R^{2} s i n^{2} (φ) + y^{2}) d R \cdot R

gemacht.

Hier hatte ich eine falsche Stammfunktion gebildet:
Habe das

\frac{1}{4}

und

\frac{1}{2}

vor dem

R^{4}

bzw.

R^{2}

vergessen, sodaß die richtige Stammfunktion

\frac{1}{4} R^{4} \cdot s i n^{2} (φ) + \frac{1}{2} R^{2} y^{2}

lautet, mit den Grenzen

0 - > R

Dann weiter

\int_{0}^{2 φ} \frac{1}{4} R^{4} \cdot s i n^{2} (φ) + \frac{1}{2} R^{2} y^{2}

= > - \frac{1}{16} R^{4} \cdot s i n (2 φ) + \frac{1}{2} R^{2} y^{2} φ + \frac{1}{8} R^{4} φ

∣_{0}^{2 φ}

= π R^{2} y^{2} + \frac{1}{4} π R^{4}

damit geht es in die letzte Integration

θ_{z} = ρ \cdot \int_{- \frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} (π R^{2} y^{2} + \frac{1}{4} π R^{4}) d y

θ_{z} = ρ \cdot (\frac{1}{3} π R^{2} y^{3} + \frac{1}{4} π R^{4} y

)

∣_{- \frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}

θ_{z} = ρ \cdot (\frac{1}{12} R^{2} π \cdot l^{3} + \frac{1}{4} R^{4} \cdot l) = \frac{m}{12} \cdot (l^{2} + 3 R^{2})

:-)

Bist du damit einverstanden cositan?

Gruß Neph

anonymous

16:22 Uhr, 29.03.2014

Du fragst mich nach meiner Meinung.
Nun, im Koordinatensystem

D

ist das - sorry - vollkommen unsinnig.

Ich beginne zu ahnen, dass du eigentlich das Koordinatensystem

C

meinst. Ich habe aber keine Lust, auf eine reine Vermutung hin den ganzen Kauderwelsch durchzukauen und rauszuorakeln, welche Größe in deinen Gedankengängen welcher Koordinate entspricht.

Ich habe das überflogen, und mich auf die letzten drei Zeilen beschränkt:

>

den Smilie will ich gerne erwiedern,

>

Mein Einverständnis könnte nur gegeben werden, wenn ich auch verstehen könnte. Bitte lerne für die Zukunft, dich verständlich auszudrücken. Wie sollte ich verstehen, wenn nach mittlerweile ungefähr FÜNF mal nachfragen auch zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht eindeutig klar ist, in welchem Koordinatensystem du deine Gedanken und Ansätze formuliert hast ??
Bitte, schau dir deine bisherigen Ausführungen nochmals in Ruhe an. Du hast dich bis jetzt noch nicht eindeutig erklärt, ob du dich auf das Koordinatensystem

C

oder

D

beziehst, oder wie du die Widersprüche in der Darstellung deines Koordinatensystems

B

erklären willst

!!

>

Wenn die Sache dann hiermit endlich vom Tisch ist: Halleluja!
Gruß, cositan

NEPH1L1M aktiv_icon

18:56 Uhr, 31.03.2014

Hallo Cositan,

danke für deine Rückmeldung, obwohl du nicht damit einverstanden bist.
Sorry wenn ich mich so unklar ausdrücke - was mir nicht bewußt ist!

Aber das K.-System C ist zwar korrekt ( wie bei den anderen auch, liegen x-y-z richtig und

β

φ

) aber

r

ist nicht richtig! Denn das gesuchte Massenträgheitsmoment ist

θ_{z}

, also íst

r

der senkrechte Abstand von

d m

zur z-Achse.

B und D sind ja identisch, nur das bei B, eine weitere Ansicht gezeigt wird, die den Kreisradius

R

und den Winkel

φ

zeigt , welcher =

γ

in Skizze D ist.
(Ist das der Widerspruch den du meinst?)

Ich finde auch keinen allzugroßen Unterschied zur Darstellung und Rechnung "(iii) Trägheitsmoment eines Zylinders" auf der Seite
http://th.physik.uni-frankfurt.de/~luedde/Lecture/Mechanik/Intranet/Skript/Kap7/node5.html
sowie der stark verkürzten Rechnung nach dem Satz "Für das Trägheitsmoment bezogen auf eine Drehachse senkrecht zur z-Achse erhält man" .(s.a. die beiden Bilder)

Wenn die Rechnung in Zylinderkoordinaten komplett falsch wäre, dürfte ich doch am Ende nicht auf das richtige Ergebnis kommen?

Ich habe überall im Web,in TM-Büchern und im Papula II gesucht, aber nirgends finde ich etwas, was mir deine Kritik und damit meinen Fehler anschaulich zeigen würde.

Viele Grüße

NEPH

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