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Von LR-Zerlegung zu Cholesky

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

 
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Stochastikerin

Stochastikerin

14:05 Uhr, 03.02.2022

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Hallo,

folgendes Beispiel.

Ich habe die LR-Zerlegung einer Matrix (Beispielsweise einer 3x3 Matrix). Wie bestimme ich daraus die Cholesky-Zerlegung, wenn ich das Produkt, also L⋅R(=A) nicht berechnen darf und wie gebe ich die Determinante ohne Berechnung des Produktes an?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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Antwort
HAL9000

HAL9000

15:31 Uhr, 03.02.2022

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Die Determinante von A ist das Produkt der Diagonalenelemente von R, das gilt sogar allgemein auch für nichtsymmetrische Matrizen A.

Deine Matrix A muss positiv definit (und damit u.a. auch symmetrisch) sein, sonst macht eine Cholesky-Zerlegung keinen Sinn. In einem solchen Fall gilt für Zerlegung A=LR aber, dass R=DLT ist, wobei D=diag(d1,…,dn) jene Diagonalmatrix ist, deren Diagonale mit der von R übereinstimmt.

Bilde nun einfach C:=L⋅D1/2, wobei D1/2=diag(d1,…,dn), dann ist A=CCT die gesuchte Cholesky-Zerlegung. Man kann diese Matrixoperation C:=L⋅D1/2 auch kurz so beschreiben: Die erste Spalte von L wird mit d1 durchmultipliziert, die zweite mit d2 usw.