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Vorgegebener Eigenwert ergibt Nullvektor??

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert

lucidsleepy aktiv_icon

21:49 Uhr, 29.01.2019

Hallo, ich habe eine Matrix mit Eigenwerten (siehe Angabe). Wenn ich den Eigenwert nun einsetze und durchs System meinen Eigenvektor berechnen will, bekomme ich den Nullvektor, da eine Zeile

0 = 0

ist. Der Nullvektor ist definitionsbestimmt kein Eigenvektor. Was mache ich falsch?

ledum aktiv_icon

23:59 Uhr, 29.01.2019

Hallo
falls eine Zeile 0 ist heisst das doch

z

. B. nur

x 4

beliebig denn

0 \cdot x 4 = 0

für alle

x 4

also setze

x 4 = r

und rechne weiter., die anderen damit aus.
Gruß ledum

lucidsleepy aktiv_icon

00:03 Uhr, 30.01.2019

Sorry, nicht

0 = 0

sondern

1 = 0 .

. und dadurch sind alle anderen werte doch auch

0,

weil jede zeile

= 0

verglichen wird. Also zb

2 x + y = 0

mit

y = 0

ist

x = 0

ledum aktiv_icon

00:08 Uhr, 30.01.2019

Hallo
wahrscheinlich hast du nen Rechenfehler gemacht. lass dir das System von nem Onlinerechner berechnen.
www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm
der zeigt dir nach anklicken von Erklärungen auch den Weg.
Gruß ledum

godzilla12 aktiv_icon

00:30 Uhr, 30.01.2019

x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} + 6 x_{4} = x_{1} (1 a)

2 x_{2} + 3 x_{3} + 6 x_{4} = 0 | : x_{4} (2 a)

2 x_{3} + 4 x_{4} = x_{2} (1 b)

x_{2} - 2 x_{3} - 4 x_{4} = 0 | : x_{4} (2 b)

x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = x_{3} (1 c)

x_{1} + x_{2} + x_{4} = 0 | : x_{4} (2 c)

- x_{1} - x_{2} = x_{4} (1 d)

x_{1} + x_{2} + x_{4} = 0 (2 d)

Die

(2 d)

lassen wir weg, weil die wiederholt ja nur Bedingung

(2 c)

Durch meinen pfiffigen Divisionstrick wird die Anzahl an Unbekannten verringert. Trotz der Division bleibt das GS linear, weil ja rechts Null steht.

Ich setze noch

X_{1; 2; 3} := \frac{x_{1; 2; 3}}{x_{4}} (3)

In den Unbekannten

(3)

lauten

(2 a - c)

nunmehr

2 X_{2} + 3 X_{3} = (- 6) (4 a)

X_{2} - 2 X_{3} = 4 | \cdot 2 (4 b)

X_{1} + X_{2} = (- 1) (4 c)

Und siehe da; das LGS separiert. ( 4ab ) bilden ein

2 X 2

System in den Unbekannten

X_{2; 3},

den Umformungsschritt habe ich wie üblich vermerkt. Das Subtraktionsverfahren

(4 a) - (4 b)

führt auf

X_{3} = (- 2), X_{2} = 0

Daraus ermittelst du in

(4 c) X_{1} = (- 1);

were isse ploblem? Damit lautet der Eigenvektor ( Probe

!)

e_{1} = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) (5)

Kennst du auf Youtube? Peter Frankenfeld; die Ballistik?
( Wer die Gnade der späten Geburt hat, der hat nix zu lachen; den bestraft das Leben. ) Hier das Zitat

" Da kann man mal sehen; der Kamerad denktmit

. .

. "

DeEkst denn DU mit? In

(2 a - c)

darfst du natürlich nur durch

x_{4}

dividieren, wenn alle eigenvektoren

x_{4} > 0

haben. Diese Voraussetzung ist aber vollkommen unkritisch; wir sind von Vorn herein sicher, keinen übersehen zu haben. Denn die Koeffizientenmatrix von

(4 a - c)

ist ja völlig identisch mit dem, was du in

(2 a - c)

kriegst, wenn du

x_{4} = 0

setzt.

(4 a - c)

stellte sich als eindeutig lösbar heraus; und die eindeutigde Lösbarkeit hängt nichrt an dem Vektor der rechten Seite.
Noch Fragen? Nirgendwo ist der Eigenvektor der Nullvektor - wie kommst du darauf?

godzilla12 aktiv_icon

00:33 Uhr, 30.01.2019

Nein Ledum. Arndt scheitert Regel mäßig bei

x_{2} = 0;

für diese triviale Bedingung musst du schon wolfram bemühen.

lucidsleepy aktiv_icon

00:44 Uhr, 30.01.2019

Danke mal für die Antwort.

Ich studiere nicht Mathematik, sondern Informatik, und lerne dort auch nur einen Bruchteil der Methoden. Beim Errechnen des Eigenvektors, haben wir gelernt

(A - E \cdot λ) \cdot

Eigenvektor

= 0,

was du anscheinend mit dem Eigenwert 1 nicht machst. Dein System wurde

1 : 1

übernommen, ohne den Eigenwert zu beachten, oder wo kommt der jetzt vor? Die Division durch

: x 4

verstehe ich auch kein bisschen, aber ich habe eben auch nur von den elementaren Zeilenumformungen und der erwähnten Identität für Eigenvektoren gelernt.

Also mein Ansatz war, die gegebene Hauptdiagonale der gegebenen Matrix

- 1

zu rechnen, damit ich

A - E \cdot λ

habe, dann setze ich es in ein System wobei der Eigenvektor die vier unbekannte an den Spalten sind, und setze den Ergebnisvektor

b

. Nur gelingt es mir hier nicht, eine Antwort zu bekommen, die nicht der Nullvektor ist. Also falls du es auf meine Art erklären könntest, wäre das sehr hilfreich.

lucidsleepy aktiv_icon

12:41 Uhr, 30.01.2019

Ich habe es geschafft, hatte einen rechenfehler bei der zeilenumformung.

godzilla12 aktiv_icon

13:52 Uhr, 30.01.2019

Lucid ich hielt alles für selbst Erklärend. In dem LGS

(1 a - d)

schreibe ich ( auf der linken Seite ) Original " Matrix Mal Eigenvektor " ; und rechts steht " Eigenwert Mal Eigenvektor "
Jetzt denk doch mal scharf nach; wenn

E = 1

sein soll, dann steht auf der rechten Seite von

(1 a) x_{1}, i n (1 b)

ist es

x_{2}

usw. ICH nummeriere mein Gelump nämlich korrekt ( und ihr gar nicht ) Dieses

(1 a - d)

sind quasi die Rohdaten.
Das ( homogene ) LGS

(2 a - d)

entsteht aus

(1 a - d),

indem du alle ixe sortierst und rechts Null steht. Das hast du so sicher auch in deinem Skript;

(2 a - d)

ist zu lösen.
( Nebenbei stellt sich heraus, dass

(2 d)

die Aussage von

(2 c)

wiederholt. )
Kontrolliere nochmal deine Ergebnisse nach; solltest du irgendwas haben, was nicht meinem

(1 a - d)

entspricht geschweige

(2 a - d),

hast du einen Fehler. Sag mir doch mal; wo konkret siehst du Abweichungen? Vielleicht kommen wir ja gemeinsam dahinter.
Auf dem fossilen Portal " Lycos "

( Mensch stell dir mal vor; auf Mathelounge wurde ich Gnaden los gesperrt, weil ich " Lycos " gesagt hatte. )
Hier kennst du die Comedy " Renn Buddy renn? "

( Ein Student wird von der Cosa Nostra erbarmungslos gejagt, weil er die Parole " Little Chick " gehört hat

. .

. )
Also auf Lycos arbeitete ich wesentlich näher am Schüler als hier. Und da stellte sich eben heraus, dass die große Mehrheit der Schüler völlig unfähig ist, in Proportionen zu denken. Wenn du die fragst, welches Volumen hat eine Kugel von

47.11

cm Durchmesser? Ja dafür haben sie eine Formel.
Und dann immer wieder die hilflose Frage

" Wir sollen sagen: Wie ändert sich das Volumen einer Kugel, wenn man ihren radius verdoppelt? Bitte helft mir; woher soll ich das wissen? Ich hab doch keine Zahlen

. .

. "

In gewisser Weise können diese Leute konkret denken, aber nicht abstrakt.
Und genau so ist die Lösung von

(2 a - c)

nicht eindeutig.
Bitte denke nach - das ist AGULA Grundwissen.
Wäre die Lösung eines homogenen LGS eindeutig, wäre sie ja gleich dem Nullvektor.

Du hast also immer einen " Strahl " an Eigenvektoren; was sie allerdings gemeinsam haben, ist dieses Verhältnis.

Z . B

\frac{x_{3}}{x_{4}} = 4711 (

Warum? )
Ich geb

' s

ja zu; mein Divisionsrick ist unüblich; aber um es mit den Worten meines Chefs zu sagen

"

. .

. und geht DOCH. "

(4 a - c)

besitzt ( als eindeutige Lösung ) genau jene Verhältniszahlen; und mehr ist in

(5)

nicht gefordert.
Übrigens wenndu mir nicht glaubst. Dann schau dir mal an, wie

\to

Arndt Brünner homogene LGS löst.

godzilla12 aktiv_icon

15:05 Uhr, 30.01.2019

Ach natürlich - und das noch.
Wäre die Lösung deines LGS - entsprechend meinem

(2 a - d)

tatsächlich identisch gleich Null, würde dies tatsächlich bedeuten, dass

E = 1

kein Eigenwert wäre.
Nun habe ich aber in meinem

(5)

den korrekten Eigenvektor angegeben.
Im Zusammenhang mit

(5)

habe ich dich ferner aufgefordert, selbst die Probe zu machen. Da hier also wirklich ein ejgenvektor raus kommt, musst du irgendeinen Rechenfehler haben. Wenn du auch in Zusammenarbeit mit wolfram nix findest, kann ich mich ja mal erbarmen. Vielleicht hast du ja auch nur einen Vorzeichenfehler. A Propos Vorzeichenfehler.
Ich halte es immer noch mit unserem best gehassten Prof, Institutsdirektor

\to

Walter Greiner. Der rechnete in einer Vorlesung eine Stunde lang wie ein Weltmeister; doch dann wollte er Mittag essen:

" Ich habe hier leider einen Vorzeichenfehler. Stünde hier Minus statt Plus, wäre dies der Energiesatz der Diractheorie

. .

. "

Keine nähere Erläuterung, warum ausgerechnet dies der Energiesatz sein soll

. .

.
Siehst du; wer sich mit derartigen Phrasen abspeisen lässt, hat einen " autoritären " Charakter.
Hier einer aus dem vorzeichenfehler; kennstre den?

wütend schmeißt der Greiner seinen PC aus dem Fenster.
Der PC schwebt Himmel an - warum?
Vorzeichenfehler

. .

godzilla12 aktiv_icon

15:10 Uhr, 30.01.2019

Und Schlagfertigkeit wäre gewesen, wenn mir gleich eingefallen wäre, was mir erst jetzt eingefallen ist.
Habe ich dir nicht gesagt, dass

(2 d)

das Selbe in Grün ist wie

(2 c)

?
Wenn eine

4 X 4

Matrix zwei identische Zeilen hat, kann ihr Rang nie in se Leben

> 3

sein

\to

Es gibt eine nicht triviale Lösung des LGS ; Rangformel

(!)

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