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Vorschüssige Rente

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Finanzmathematik, Rentenrechnung, vorschüssige rentenrechnung

anonymous

19:19 Uhr, 06.12.2020

a) Ein Bauer, der auf’s Altenteil geht, hat sich ausbedungen, dass der neue Hofbesitzer ihm bzw. seinen Erben 18 Jahre lang eine vorschüssige Rente von jährlich 15.000 € zu zahlen hat. Der neue Hofbesitzer möchte diese Rente sofort durch eine Abfindungssumme ablösen. Wieviel hat er dem Altbauern anzubieten, wenn mit 7 % Verzinsung gerechnet wird?

b) Ein Beamter entschließt sich, zu seinem 50. Geburtstag einen Rentensparplan abzuschließen, der ihm, wenn er in Pension gehen wird, seine finanziellen Verhältnisse für den Rest seines Lebens ein wenig aufbessern soll. Dazu zahlt er während seiner noch verbliebenen 15 Dienstjahre jährlich vorschüssig einen Betrag von 5.000 € ein. Angenommen, sein Guthaben wird während der Ansparphase mit 6,5 % und während der Rentenphase mit monatlich 0,5 % verzinst. Welcher Betrag steht ihm dann jeweils zu Beginn eines Monats zusätzlich zu seiner Pension zur Verfügung?

(Hinweis: Die Versicherungsgesellschaft geht bei ihren Berechungen nach der aktuell gültigen Sterbetafel aus, nach der dieser Beamte nach Erreichen des Pensionsalters noch 24 Jahre leben wird.)

c) Ein Student hat bei einer Bank ein endfälliges Darlehen aufgenommen, aufgrund dessen er jetzt 40.000 € zahlen muss. Da die finanziellen Mittel des Studenten die Tilgung des Darlehens nicht erlauben, vereinbart die Bank, die Schuld innerhalb von 4 Jahren in monatlich vorschüssig zahlbaren Raten abzugelten. Es wird ein Zinssatz von 3,5 % vereinbart. Wie hoch sind die monatlichen Raten, die der Student nun aufbringen muss?

d) Sponsor S erklärt sich bereit, für den Mittelfeldspieler Mdes Fußballvereins W fünf Jahre lang das Grundgehalt (ohne Prämien etc.) zu bezahlen. Dieses Grundgehalt beträgt 6.000 € pro Monat und wird monatlich vorschüssig gezahlt. Welchen Geldbetrag muss S bei Vertragsabschluss für diese Zahlungen anlegen, wenn seine Hausbank für die Anlage jährlich 7 % Zinsen zahlt?
__________

a)

R_{0} = \frac{r}{q^{n} - 1} * \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

R_{0} = \frac{15000}{1, 0 7^{18} - 1} * \frac{1, 0 7^{18} - 1}{1, 07 - 1} = 214285, 71

R_{n} = r * q * \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

R_{n} = (5000 * 1, 065 * \frac{1, 06 5^{15} - 1}{1, 065 - 1}) + (5000 * 1, 005 * \frac{1, 00 5^{9} - 1}{1, 005 - 1})

Das wäre jetzt insgesamt oder? Was muss ich für n eingeben um einem Monat zu haben? Die Zinssätze durch 12 und n mal 12?

c)

r = \frac{R_{n}}{q} * \frac{q - 1}{q^{n} - 1}

r = \frac{40000}{1, 035} * \frac{1, 035 - 1}{1, 03 5^{4} - 1}

R_{n} = r * q * \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

R_{n} = 6000 * 1, 07 * \frac{1, 0 7^{5} - 1}{1, 07 - 1}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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19:27 Uhr, 06.12.2020

Hallo,

nur ein Tipp zu a): Wenn man abdiskontiert, dann macht man dies mit dem Faktor

q

, also in

n

Jahren

q^{n}

.

Gruß
pivot

anonymous

19:34 Uhr, 06.12.2020

Bei a) habe ich

q^{n}

1, 0 7^{18}

, ist das falsch? Soll ich da nicht abzinsen?

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19:35 Uhr, 06.12.2020

Was genau hast du im Nenner stehen?

anonymous

19:38 Uhr, 06.12.2020

q=1+7/100=1,07
n=18 Jahre

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19:43 Uhr, 06.12.2020

Bei dir im Nenner steht

q^{n} - 1

.
Im Übrigen kann man bei deinem Term

(q^{n} - 1)

kürzen. Dann wäre es nicht sinnvoll es überhaupt hinzuschreiben.

anonymous

19:48 Uhr, 06.12.2020

R_{0} = \frac{15000}{1, 0 7^{18 - 1}} * \frac{1, 0 7^{18} - 1}{1, 07 - 1} = 161448, 34

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20:08 Uhr, 06.12.2020

Ja, habe ich auch so.
Bei der b) sparst du erst einmal 15 Jahre an. Das ist der 1. Teil deines Terms. Der Referenzzeitpunkt ist der Rentenbeginn. Dann brauchst du den Barwert von

24 \cdot 12

vorschüssigen, monatlichen Rentenzahlungen.
Diese kannst du abziehen und das Ergebnis muss gleich

0

ergeben.

<<Die Zinssätze durch 12 und n mal 12>>

Der monatliche Zinssatz ist hier mit

0, 5 %

angegeben. Somit muss er nicht durch 12 geteilt werden. Der Zinsfaktor ist somit

1, 005

.

P.S.
Ich schaue jetzt erst einmal Tatort. Es kann gerne jemand weiter machen.

anonymous

22:37 Uhr, 06.12.2020

b) Während der Ansparphase ist der Zinssatz doch 6,5% und weil da nichts steht dachte ich es ist jährlich gemeint. Soll ich den ersten Teil des Terms dann so lassen wie zuvor oder daraus den Monatsszinsatz nehmen

R_{n} = 5000 * 1, 065 * \frac{1, 06 5^{15} - 1}{1, 065 - 1}

Der zweite Teil

R_{0} = \frac{5000}{1, 00 5^{288 - 1}} * \frac{1, 00 5^{288} - 1}{1, 005 - 1}

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22:44 Uhr, 06.12.2020

Ja, so würde ich das machen.

anonymous

22:48 Uhr, 06.12.2020

Dann abziehen?

R_{n} - R_{0} = 59130, 81

? Da habe ich jetzt aber nicht 0 raus

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22:51 Uhr, 06.12.2020

Richtig. Abziehen.
Bei der Pension ist der Betrag noch nicht bekannt. Die Pension ist nicht 5000.

anonymous

22:55 Uhr, 06.12.2020

Wie berechnet man die Pension? Die soll dazu addiert werden oder?

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22:59 Uhr, 06.12.2020

War doch alles bis jetzt, bis auf die 5000, richtig.

Du berechnest die Differenz und diese Differenz soll/muss 0 ergeben. Die Unbekannte ist die Höhe der Pension.

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05:12 Uhr, 07.12.2020

a)

Barwert BW=

15000 \cdot 1,07 \cdot \frac{{1,07}^{18} - 1}{0,07 \cdot {1,07}^{18}}

b) 5000 \cdot 1,065 \cdot \frac{{1,065}^{15} - 1}{0,065} = x \cdot 1,005 \cdot \frac{{1,005}^{288} - 1}{0,005 \cdot {1,005}^{288}}

c)Monatszinsfaktor

q = 1 + \frac{0,035}{12}

40000 \cdot q^{48} = x \cdot q \cdot \frac{q^{48} - 1}{q - 1}

d) q = 1 + \frac{0,07}{12}

Barwert BW

= 6000 \cdot q \cdot \frac{q^{60} - 1}{(q - 1) \cdot q^{60}}

Ich denke, du erkennst nun das Prinzip, das solchen Aufgaben zugrundeliegt.
Sie gehen nach Schema F.
Es geht um den Barwertvergleich bzw. Endwertvergleich.

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17:09 Uhr, 13.12.2020

Wie lautet das Endergebnis für

B)

? Interesse mich für diese Aufgabe!

1523094

1521658

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