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Wahrscheinlichkeit - Elfmeterschießen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Baumdiagramm, Wahrscheinlichkeit

 
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SpaceToon

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14:02 Uhr, 26.02.2012

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Sven und Björn üben das Elfmeterschießen, wobei Björn mit 60% Wahrscheinlichkeit ein Tor erziehlt und Sven nur mit 40%. Sie vereinbaren einen Wettkampf. Die Elfmeter werden abwechselnd geschossen, wobei Sven beginnen darf und jeder insgesamt höchstens zweimal schießt. Es gewinnt erjenige, welcher den ersten Treffer erziehlt.

a) Berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeiten der beiden Spieler.

P(Sven trifft)=49.6%
P(Björn trifft)=44.64%

b)Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht das Spiel unentschieden aus?



c) Würde Fabian anstelle von Sven spielen, so hätten beide Spieler die gleiche Gewinnchance. Welche Trefferwahrscheinlichkeit p hat Fabian?

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
DK2ZA

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14:36 Uhr, 26.02.2012

Antworten
Ich betrachte 10000 Spiele.

Sven gewinnt 40% davon - das sind 4000 Spiele - mit dem ersten Schuß.

Bei 6000 Spielen schießt er daneben und Björn kommt dran.

Der trifft in 60% davon, das sind 3600.

In 2400 Fällen schießt er daneben und Sven darf noch einmal.

Sven trifft in 40% von 2400 Fällen, das sind 960 ins Tor.

2400-960=1440 mal geht's daneben.

Schließlich schießt Björn noch 0,6⋅1440=864 mal ins Tor.


Also gewinnt Sven in 4000+960=4960 von 10000 Spielen, d.h. in 49,6%

Björn gewinnt in 3600+864=4464 von 10000 Spielen, d.h. in 44,64%

Bei 100%-49,6%-44,64%=5,76% gewinnt keiner von beiden.



c)

Ich betrachte 10000 Spiele.

Sven gewinnt 40% davon - das sind 4000 Spiele - mit dem ersten Schuß.

Bei 6000 Spielen schießt er daneben und Fabian kommt dran.

Der trifft mit der Wahrscheinlichkeit p, das sind p⋅6000.

In (p-1)⋅6000 Fällen schießt er daneben und Sven darf noch einmal.

Sven trifft in 40% von (p-1)⋅6000 Fällen, das sind 0,4⋅(p-1)⋅6000 ins Tor.

0,6⋅(p-1)⋅6000 mal geht's daneben.

Schließlich schießt Fabian noch p⋅0,6⋅(p-1)⋅6000 mal ins Tor.


Also gewinnt Sven in 4000+0,4⋅(p-1)⋅6000 Spielen.

Fabian gewinnt in p⋅6000+p⋅0,6⋅(p-1)⋅6000 Spielen.


Diese Ergebnisse sollen gleich sein:

4000+0,4⋅(p-1)⋅6000=p⋅6000+p⋅0,6⋅(p-1)⋅6000

4000+2400⋅p-2400=6000⋅p+3600⋅p2-3600⋅p

3600⋅p2=1600

p=23




GRUSS, DK2ZA
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