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Wahrscheinlichkeit Rubbellos Heiße 7

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Stochastik, Wahrscheinlichkeit, Zufallsvariablen

anonymous

18:58 Uhr, 07.07.2016

Hallo,

ein Freund hat ein Rubbellos "Heiße 7" gekauft. Die Chance 10€ zu gewinnen liegt bei

1 : 59

. Er hat auf einem Rubbellos mit 7 Rubbelstellen 4 mal 10€ gewonnen. Er ist der Meinung die Chance liegt bei

{(\frac{1}{59})}^{4}

. Allerdings muss man doch noch Kombinationsmöglichkeiten mit einberechnen, bzw dass die Chance mit einem Gewinn beim nächsten Mal kleiner wird. Leider bekomm ich die Rechnung nicht gebacken. Kann mir jemand helfen?

Gruß Pascal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

20:35 Uhr, 07.07.2016

>

Er ist der Meinung die Chance liegt bei

(159) 4

.
Welche Chance? Welche Wahrscheinlichkeit soll das sein?
Wenn es um die WKT dafür geht, dass auf einem solchen 7-er Los GENAU 4 Gewinne sind, dann ist der Wert falsch

\to

Binomialverteilung!
Ich gehe im Folgenden mangels näherer Informationen deinerseits von diesem Ereignis aus.
Andere Möglichkeiten wären:
- WKT dafür, dass genau diese 4 Punkte (die sind ja durch ihre Anordnung auf dem Los unterscheidbar) auf einem Los Gewinne sind.
- WKT dafür, dass auf einem Los MINDESTENS 4 Gewinne sind

- . .

>

Allerdings muss man doch noch Kombinationsmöglichkeiten mit einberechnen, bzw dass die Chance mit einem Gewinn beim nächsten Mal kleiner wird.
Theoretisch hast du damit schon Recht, im Grunde handelt es sich um die Hypergeometrische Verteilung. Aber dazu müssten wir wissen, wie viele Lose insgesamt aufgelegt wurden. Außerdem wird in der Praxis die Losauflage so groß sein, dass man getrost mit der einfacher zu handhabenden Binomialverteilung rechnen darf.

Die WKT, dass ein Rubbelpunkt ein Gewinn ist, soll also

\frac{1}{59}

betragen. Das heißt, unter

59

Punkten ist im Schnitt einer mit einem Gewinn.
(Anmerkung: Ist

1 : 59

nicht vielleicht die Quote? Dann wäre die WKT

1 : 60)

Nehmen wir jetzt an, dass

59000

Lose aufgelegt wurden. Das macht also

7 \cdot 59000 = 413000

Punkte und von diesen sind

\frac{1}{59}

ein Gewinn, also gibt es

7000

Gewinnpunkte.
Ein Los ist nun eine Wahl von 7 Punkten aus der Gesamtmenge von

413000

und gefragt ist die WKT dafür, dass wir mit dieser Wahl genau 4 Gewinnpunkte erwischen.
Nach Hypergeometrischer Verteilung, welche ja berücksichtigt, dass sich bei jeder Ziehung die Wahrscheinlichkeit ändert, berechnen wir hier eine WKT von

\frac{(\begin{matrix} 413000 - 7000 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 7000 \\ 4 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 413000 \\ 7 \end{matrix})} \approx 0,000274179 %

Rechnet man (aber richtig, und das überlasse ich dir) mit Binomialverteilung, also ohne Kenntnis der Gesamtauflage nur mit der festen WKT von

\frac{1}{59}

für einen Gewinnpunkt, dann erhält man ca.

0,000274402 %

Der Unterschied wird wohl vernachlässigbar sein und er wird umso kleiner, je größer die Losauflage wird.

R

bananenjoe aktiv_icon

00:19 Uhr, 08.07.2016

Danke Roman für deinen Ausführlichen Lösungsweg. Auf der Rückseite des Scheins steht:
Eine Serie von

2.000.000

Losen enthält garantiert

34.000

10€ gewinne.

Wenn ich es richtig verstehe ist die Wahrscheinlichkeit für 1 Los 10€ zu gewinnen

= \frac{1}{59}

\frac{34.000}{2.000.000} \approx \frac{1}{59}

7 \cdot 2.000.000 = 14.000.000

Gewinnpunkte.

\Rightarrow \frac{(\begin{matrix} 14.000.000 - 34.000 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 34.000 \\ 4 \end{matrix})}{\begin{matrix} 14.000.000 \\ 7 \end{matrix}} = 1,208 \cdot 10^{- 9} \cdot 100 = 0,0000001208 %

Meine ursprüngliche Berechnung erfolge über:

\frac{34.000}{2.000.000} \cdot \frac{33.999}{1.999.999} \cdot \frac{33.998}{1.999.998} \cdot \frac{33.997}{1.999.997} = 8,35 \cdot 10^{- 8} \cdot 100 = 0.00000835 %

Kleine Nebenbemerkung: die Gewinnchance auf den Jackpot beträgt

\frac{1}{500.000} = 2 \cdot 10^{- 6} \cdot 100 = 0,0002 %

Da ich eigentlich nur einen Freund über Whatsapp über dieses "lustige" Glück informieren wollte, habe ich bewusst näherungsweise eine Wahrscheinlichkeit berechnet, um das Unfassbare besser zu beschreiben. Mir war jedoch nicht bewusst, dass ich diese Information den Umfang einer Abschlussarbeit haben muss.

Letzten Endes ist jedoch selbst der Lösungsweg von Roman falsch, da die Bedingung gegeben sein muss, dass man selbst im Besitz aller

2.000.000

Lose ist. Theorie

\neq

Praxis.

Ich hoffe du kannst dich dennoch daran erfreuen, da ich mich tatsächlich (NUR!!!) um eine Zehnerpotenz verrechnet habe.

Roman-22

01:05 Uhr, 08.07.2016

Warum dann die krummen (und leicht ungenauen)

\frac{1}{59}

und nicht gleich den exakten Wert

\frac{17}{1000}

?

Und ein Abschlussarbeit musst du da nicht draus machen.
Es geht auch ganz einfach mit Binomialverteilung und das ist Schulstoff

(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{17}{1000})}^{3} \cdot {(1 - \frac{17}{1000})}^{4} = \frac{545893341245458087}{2 \cdot 10^{23}} \approx 0.0002729 %

>

da die Bedingung gegeben sein muss, dass man selbst im Besitz aller

2.000.000

Lose ist
Warum sollte das Bedingung sein? Ist es nicht.
Wenn du 1 Los kaufst und dich vor dem aufrubbeln frägst, wie groß die WKT ist, dass du jetzt genau 4 Gewinne zu 10€ aufrubbeln wirst, ist

o . a

. der korrekte Wert.

Wenn du vorher aber

10

andere beim aufrubbeln beobachtet hast und dir gemerkt hast, wie viele Gewinne die hatten, wird deine Berechnung ein kleinwenig anders aussehen müssen, denn du hast ja jetzt mehr Informationen.

Ein Ereignis eintreten zu lassen und sich rückblickend zu fragen, wie wahrscheinlich das denn war, kann aber auch sehr irreführend sein. Lass jemanden eine beliebige sechsstellige Zahl (führende Nullen erlaubt) aufschreiben. Er schreibt

764901

. Wie groß war denn die Wkt, dass genau diese Zahl aufgeschrieben wird? Wie leicht ersichtlich ist war diese WKT 1 zu einer Million. Und trotzdem ist dieses nahezu unmögliche Ereignis gerade eingetreten - Wahnsinn ;-)

R

bananenjoe aktiv_icon

14:21 Uhr, 08.07.2016

Es wurde lediglich eine kurze Zeit darüber Nachgedacht. Außerdem ist die Binomialverteilung 3 Jahre her und die Schreibweise für Wolfram Alpha oder andere Rechner war mir nicht klar. Wirklich lust sich damit auseinander zu setzten hatte ich nicht... Eine Auffrischung hat jedoch gut getan. :-)

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