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Wahrscheinlichkeit Vorgehensweise

Schüler

Tags: Wahrscheinlichkeit

nick876 aktiv_icon

13:27 Uhr, 31.12.2014

Hallo Leute,
Ich bin hier am verzweifeln. Ich versuche mich ein wenig auf das Abitur vorzubereiten aber irgendwie klappt das garnicht.
Irgendwie verstehe ich gerade von der Wahrscheinlichkeitsrechnung garnichts.

Am Beispiel folgender Aufgabe:

Nach einem Pressebericht hatten

1983

nur

6,3

Prozent der

15 -

bis 24-Jährigen völlig gesunde Zähne; heute beträgt der Prozentsatz in dieser Altersgruppe rund

25 %

. Eine Zahnärtzin untersucht zehn Personen in dieser Altersgruppe.

a)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben mehr als drei völlig gesunde Zähne?

Mein Lösungansatz lautet:

{(\frac{1}{4})}^{4} \cdot {(\frac{3}{4})}^{6} + {(\frac{1}{4})}^{5} \cdot {(\frac{3}{4})}^{5} ... .

.

Also ich beginne mit

{(\frac{1}{4})}^{4}

da ja mindestens vier Personen gesunde Zähne haben müssen. Anschließend multipliziere ich das mit

{(\frac{3}{4})}^{6},

da ja dann 6 Personen ungesunde Zähne haben. Diesen Term addiere ich dann mit

{(\frac{1}{4})}^{5} \cdot {(\frac{3}{4})}^{5},

da ja auch 5 gesunde Zähne haben können und 5 ungesunde Zähne haben können und so rechne ich dann immer weiter bis am Ende jeder gesunde Zähne hat also am Ende

+ {(\frac{1}{4})}^{10}

. Als Ergebnis kommt ein, meiner Meinung nach,unrealistisches Ergebnis raus. Aber was ist falsch? Und wie kann ich am besten vorgehen?

Danke für eure Hilfe.

DrBoogie aktiv_icon

13:34 Uhr, 31.12.2014

"Aber was ist falsch?"

Du hast Binomialkoeffizienten vergessen.

Wenn Du z.B. die W-keit suchst, dass genau

4

Leute gesunde Zähne haben, dann ist die Antwort

(\binom{10}{4}) (\frac{1}{4})^{4} (\frac{3}{4})^{6}

.

Du kannst über Binomialverteilung in Wikipedia nachlesen.

nick876 aktiv_icon

14:15 Uhr, 31.12.2014

Gibt es auch noch einen anderen Weg?

DrBoogie aktiv_icon

14:31 Uhr, 31.12.2014

Du kannst natürlich die Binomialverteilung selber "entdecken", aber die Antwort wird halt genauso sein.
Was Du in Deinem Ansatz übersiehst und warum man in der Tat Binomialkoeffizienten braucht, ist die Tatsache, dass es viele Möglichkeiten gibt, aus

10

Leuten

4

(mit gesunden Zähnen in diesem Fall) zu wählen. Genau

(\binom{10}{4})

Möglichkeiten. Und solange Du nicht alle Möglichkeiten berücksichtigst, kannst Du nicht auf die richtige Antwort kommen.

nick876 aktiv_icon

14:41 Uhr, 31.12.2014

Ah ja verstehe. Das könnte ohne die Binomialverteilung ziemlich Zeitaufwendig werden.
Vielen Dank für deine Hilfe.

abakus

14:46 Uhr, 31.12.2014

"Gibt es auch noch einen anderen Weg?"

Ja. Zeichne dir ein 10-stufiges Baumdiagramm und beschrifte jeden Zweig mit seiner Wahrscheinlichkeit.
Multipliziere dann entlang jedes möglichen Pfades.
Du erhältst 1024 Produkte.
Wenn du dann die Wahrscheinlichkeit wissen willst, dass genau 7 von 10 Personen gesunde Zähne haben, musst du all die Pfade heraussuchen, in denen 7mal der Faktor 0,25 und 3mal der Faktor 0,75 steht (das sind übrigens

(\binom{10}{7})

Pfade, aber du willst ja Binomialkoeffizienten vermeiden...)
Viel Spaß beim Zeichnen, Beschriften, Multiplizieren und Zählen ;-)

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