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Wahrscheinlichkeit beim Lotto

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Tags: Wahrscheinlichkeit

tommy40629 aktiv_icon

12:08 Uhr, 17.09.2014

Hi,

nachdem ich seit gestern um diese Zeit über die Aufgabe nachgedacht habe, würde ich gerne wissen, wie man dann darauf kommt.

Foto aus dem Buch habe ich hochgeladen.

Aufgabe:
----------
Beim Lotto 6 aus 49 hat man einen Gewinn, wenn man MINDESTENS 3 Richtige hat.
Die WK (Wahrscheinlichkeit) für einen Gewinn bei einem Tipp beträgt 0,0186.

a.) Meyer gibt einen Spielzettel mit 6 Tipps ab.
Wie gross ist die WK dafür, dass sie MINDESTENS einen Gewinn erzielt.

Meine Lösung:

Was mir direkt klar war:
Die "Formel" für die mindestens 3 Richtigen:

P (X \geq 3) = 1 - P (X \leq 2) = 1 - (\sum_{k = 0}^{2} (\binom{n}{k}) * p^{k} * (1 - p)^{n - k})

. Mit

p = 0, 0186

Und die Formel für die mindestens 1 Richtige:

P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (\binom{n}{0}) * p^{0} * (1 - p)^{n - 0} = 1 - (1 - p)^{n}

. Mit

p = 0, 0186

Dann habe ich das mit n=49 gerechnet und bin auf rund 60% Gewinnchance gekommen.

Ab da hatte ich im Kopf, dass ich hier 2 Zufallsexperimente vereinen muss, wie wenn man erst am Glücksrad dreht und dann bei rot ein Los ziehen darf.

Weil wir ja quasi 6 mal 6 Kugeln aus dem Lottoautomaten ziehen.
Und dann brauchen wir mindestens einen Gewinn.
-----------------------------------------------------

in der Musterlösung war es so, dass man das ziehen aus der Lottotrommel gar nicht beachtet hat. Man hat sich auf die 6 Scheine von Meyer bezogen davon die WK berechnet, dass man mindestens einen Gewinn hat.

Auf die Idee, nur die 6 Tippscheine zu beachten bin ich nicht gekommen.

Wie kann man das aus dem Text sehen??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

12:21 Uhr, 17.09.2014

"in der Musterlösung war es so, dass man das ziehen aus der Lottotrommel gar nicht beachtet hat"

Und das ist richtig so.
Die Information, dass es sich hier um Lotto "6 aus 49" handelt, ist überflüssig und sogar irreführend, wichtig ist nur die Angabe "p=0.186".
Übrigens, diese Zahl bekommt man, wenn man

P (X \geq 3)

bei den Ziehungen "6 aus 49" ausrechnet, aber das muss man nicht tun, ist schon gemacht.
Deshalb einfach vergessen, dass es hier um Lotto geht.

tommy40629 aktiv_icon

13:58 Uhr, 17.09.2014

Ok, werd ich mir merken.

Danke!

Matlog aktiv_icon

14:21 Uhr, 17.09.2014

"Deshalb einfach vergessen, dass es hier um Lotto geht. "

Diesen Rat zu befolgen ist gut, wenn Du die Musterlösung verfolgen willst!
Aber es geht hier doch trotzdem um das bekannte Lottospiel!

Ich wage zu behaupten:
Die Musterlösung ist falsch (ohne diese zu kennen).
Meiner Meinung nach ist diese Aufgabe nicht lösbar.

supporter aktiv_icon

14:30 Uhr, 17.09.2014

@Matlog:

Das genannte

p

ist die Wahrscheinlichkeit der über die hypergeometrische Verteilung ermittelten WKT, drei, vier,fünf oder sechs Richtige anzukreuzen.
So gesehen kann man die Aufgabe

m . M . n

durchaus lösen.

Matlog aktiv_icon

14:45 Uhr, 17.09.2014

Frage an tommy40629:

Wenn Du mehrere Versuche machst, wo es nur Treffer und Niete gibt.
Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit eine Bernoulli-Kette entsteht und die Anzahl der Treffer binomialverteilt ist?

DrBoogie aktiv_icon

14:56 Uhr, 17.09.2014

Willst Du beweisen, dass Versuche in diesem Fall nicht unabhängig sind? ;-)
Na dann lass hören (lesen). :-)

Matlog aktiv_icon

15:02 Uhr, 17.09.2014

Ganz genau!

Da gibt es nichts zu beweisen, da man über die 6 Tipps nichts weiß.
Ganz extrem: alle 6 Tipps könnten gleich sein.
Nicht ganz so extrem, aber immer noch extrem: ich tippe immer meine 5 Lieblingszahlen und wähle zufällig eine sechste Zahl dazu, für jeden Tipp anders.

Das sind doch Beispiele für eine riesengroße Abhängigkeit!

DrBoogie aktiv_icon

15:15 Uhr, 17.09.2014

"Das sind doch Beispiele für eine riesengroße Abhängigkeit!"

Bist Du sicher, dass Du wirklich verstehst, was stochastische Unabhängigkeit heißt? ;-)

Ein kleiner Tipp: alle Tipps sind gleich wahrscheinlich, deshalb
ist die W-keit für mindestens einen Gewinn im Fall "ich tippe immer meine 5 Lieblingszahlen und wähle zufällig eine sechste Zahl dazu, für jeden Tipp anders"
genau dieselbe wie in jedem anderen Fall - ausgenommen den Fall "alle 6 Tipps gleich" - dieser völlig sinnloser Fall ist implizit ausgeschlossen und das ist die einzige Ungenauigkeit der Aufgabe, besser wäre ihn explizit auszuschließen.

Du machst den uralten Fehler, indem Du glaubst, dass der Tipp 1,2,3,4,5,6 irgendwie weniger wahrscheinlich ist als ein "zufälliger" Tipp. Nur machst Du diesen Fehler in der "verdeckten" Form. Denk darüber nach. ;-)

Matlog aktiv_icon

15:18 Uhr, 17.09.2014

Im gleichen Stil zurück gefragt:
Bist Du sicher, dass Du stochastische Unabhängigkeit richtig verstehst?

Matlog aktiv_icon

15:27 Uhr, 17.09.2014

Ich gebe 2 Tipps ab:

1,2,3,4,5,6

1,2,3,4,5,7

Mein zweiter Tipp hat (wie jeder Tipp) die Wahrs. von ca.

\frac{1}{14000000}

.
Wenn aber bekannt ist, dass mein Tipp 1 ein Gewinn ist, dann steigt die Wahrs., dass Tipp 2 auch ein Gewinn ist ganz gewaltig an!

Wenn das keine Abhängigkeit sein soll?!

DrBoogie aktiv_icon

15:36 Uhr, 17.09.2014

"Wenn aber bekannt ist, dass mein Tipp 1 ein Gewinn ist, dann steigt die Wahrs., dass Tipp 2 auch ein Gewinn ist ganz gewaltig an!"

Das ist aber nicht bekannt. Wie sollte das auch bekannt sein?
Du vermischt zwei komplett unterschiedliche Zufallsexperimente.

Matlog aktiv_icon

15:39 Uhr, 17.09.2014

Sorry, ich muss jetzt leider weg.
Gegen

18 : 30

Uhr kann ich nochmal antworten.

Matlog aktiv_icon

18:42 Uhr, 17.09.2014

Also jetzt etwas formaler:

A :

"Der Tipp

(1,2,3,4,5,6)

ist ein Gewinn"

B :

"Der Tipp

(1,2,3,4,5,7)

ist ein Gewinn"

P_{A} (B) \neq P (B)

zeigt, dass A und

B

nicht unabhängig sind.

Nebenbei:
Die Aussage "alle Tipps sind gleich wahrscheinlich, deshalb
ist die W-keit für mindestens einen Gewinn... genau dieselbe"
möchte ich stark anzweifeln!

Die einzelnen Tipps haben die gleiche Wahrs. auf einen Gewinn, aber nicht jede 6-er Kombination von Tipps hat die gleiche Aussicht auf mindestens einen Gewinn.

Matlog aktiv_icon

19:06 Uhr, 17.09.2014

Nachtrag:
"Du vermischt zwei komplett unterschiedliche Zufallsexperimente. "

Was sind denn Deine Zufallsexperimente?
Ich sehe da nur ein einziges Zufallsexperiment, nämlich das (einmalige) Ziehen der Lottozahlen.

DrBoogie aktiv_icon

13:09 Uhr, 23.09.2014

"Ich sehe da nur ein einziges Zufallsexperiment, nämlich das (einmalige) Ziehen der Lottozahlen."

Ich sehe ein Zufallsexperiment "Person macht einen Tipp". Unabhängig von der Lottoziehung. Stellt Dir vor, ich bin ein böser Lotterie-Besitzer und ich manipuliere die Lottoziehung, so dass sie gar nicht zufällig ist. Aber außer mir kennt niemand, welche Zahlen da rauskommen werden, also müssen alle raten. In diesem Fall ist es immer noch ein Zufallsexperiment, aber die Zufälligkeit liegt in der Auswahl der Personen, welche Tipps machen, und nicht in Tipps selber. Denn ich kenne zwar die Lotto-Zahlen, aber ich kenne nicht die Zahlen, welche Meyer angekreuzt hat. Wenn ich also abschätzen soll, ob er Gewinn erzielt, kann ich nicht besser, als dies mit der W-keitstheorie zu tun, genau nach der Methode aus der Musterlösung.

Bummerang

14:59 Uhr, 23.09.2014

Hallo,

ich habe den wissenschaftlichen Streit hier verfolgt und mir mal selber Gedanken darüber gemacht, aber nachdem sich beide Seiten scheinbar für den Fall nicht mehr interessiert hatten, diese Gedanken hier nicht mehr eingestellt. Nachdem der Streit aber jetzt wieder aufflackerte, werde ich doch wohl meine Gedanken hier einstellen. Und damit das Ganze möglichst einfach bleibt, verzichte ich dabei ganz auf Formeln und deren Berechnung.

Natürlich hat Dr. Boogie recht, wenn er sagt, dass es für die Lösung dieser Aufgabe unerheblich ist, wie die Tipps aussehen, denn ohne Angabe der Einzeltipps kann man sonst die Aufgabe gar nicht wirklich lösen

d . h

. die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen. Allerdings hat Matlog recht, wenn er sagt, dass für die korrekte Ermittlung der Wahrscheinlichkeit es notwendig ist, die Struktur der bei den 6 Tipps benutzten Zahlen zu kennen. Ich begründe das Mal an einem einfachen Beispiel, bei dem ich zeige, dass die Wahrscheinlichkeit für zwei verschiedene Tippscheine mit genau 6 Tipps unterschiedlich ist.

Auf dem ersten Tippschein nehme ich die Zahlen 1 bis 8 und ordne sie zu Paaren

(1, 2), (3, 4), (5, 6)

und

(7, 8)

. Bei den ersten 4 Tipps verteile ich immer 3 Paare, so dass jedes Paar genau einmal nicht mit dabei ist. Die zwei restlichen Tipps bräuchte ich eigentlich gar nicht mehr für meine Argumentation, aber um möglichst nah an der Aufgabenstellung zu bleiben, fülle ich auch die beiden Tipps. Beim 5-ten Tipp nehme ich zwei Paare und aus den restlichen zwei Paare jeweils eine Zahl, beim 6-ten Tipp die beiden anderen Paare, die im 5-ten Tipp nicht genommen wurden, und aus den beiden Paaren aus dem 5-ten Tipp jeweils ein Zahl. Mit dieser Tippanordnung ist sichergestellt, dass ich immer genau dann auch einen Gewinn habe, wenn 3 der 8 Zahlen beliebig gezogen werden. Diese 3 Zahlen sind entweder auf zwei Paare verteilt, die dann in den Tipps 1 bis 4 genau 2 Mal zusammen getippt wurden, oder sind auf drei Paare verteilt, die dann in genau einem der Tipps 1 bis 4 zusammen getippt wurden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich mit diesen 5 Tips einen Gewinn erziele nenne ich

P_{8},

ohne diese Wahrscheinlichkeit erst tatsächlich zu ermitteln.

Beispiel:
Tipp1:

1, 2, 3, 4, 5, 6

Tipp2:

1, 2, 3, 4, 7, 8

Tipp3:

1, 2, 5, 6, 7, 8

Tipp4:

3, 4, 5, 6, 7, 8

Tipp5:

1, 2, 3, 4, 5, 7

Tipp6:

5, 6, 7, 8, 1, 2

Auf dem zweiten Tippschein nehme ich die Zahlen 1 bis 7 und ordne sie ebenfalls, soweit wie möglich zu Paaren,

d . h

(1, 2), (3, 4)

und

(5, 6),

und die 7 bildet den Rest. Bei den ersten 3 Tipps nehme ich immer die 7 und ich verteile immer 2 Paare, so dass jedes Paar genau einmal nicht mit dabei ist. Im 4-ten Tipp nehme ich die die drei Paare. Auch hier bräuchte ich die restlichen zwei Tipps nicht, fülle sie aber aus den selben Gründen wie

o

. a . auch aus. Beim 5-ten Tipp nehme ich zwei Paare und aus den drei Zahlen die 7 und die Zahl, so dass nicht einer der Tipps 1 bis 3 entsteht, beim 6-ten Tipp das eine Paar aus dem 5-ten Tipp, das Paar, das nicht als Paar im 5-ten Tipp war, die 7 und die Zahl, so dass nicht einer der Tipps 1 bis 3 entsteht. Mit dieser Tippanordnung ist sichergestellt, dass ich immer genau dann auch einen Gewinn habe, wenn 3 der 7 Zahlen beliebig gezogen werden. Diese 3 Zahlen sind entweder auf zwei Paare bzw. ein Paar und die 7 verteilt, die dann in den Tipps 1 bis 4 mindestens 2 Mal zusammen getippt wurden, oder sind auf drei Paare bzw. 2 Paare und die 7 verteilt, die dann in wenigstens einem der Tipps 1 bis 4 zusammen getippt wurden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich mit diesen 5 Tips einen Gewinn erziele nenne ich

P_{7},

ohne diese Wahrscheinlichkeit erst tatsächlich zu ermitteln.

Beispiel:
Tipp1:

1, 2, 3, 4, 7, 5

Tipp2:

1, 2, 5, 6, 7, 3

Tipp3:

3, 4, 5, 6, 7, 1

Tipp4:

1, 2, 3, 4, 5, 6

Tipp5:

1, 2, 3, 4, 7, 6

Tipp6:

1, 2, 5, 6, 7, 4

Es ist offensichtlich, dass gilt

P_{8} > P_{7},

denn offensichtlich kann ich meine Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn dadurch erhöhen, dass ich mehr Zahlen tippe, denn jede Ziehung, bei der der zweite Tippschein mindestens einen Gewinn enthält, führt auch mit dem ersten Tippschein zu mindestens einem Gewinn. Zusätzlich führen aber noch alle Ziehungen, die auf dem zweiten Tippschein nur zu mehreren Zweiern geführt haben und bei denen auch noch die 8 gezogen wurde, noch zu mindestens einem Gewinn auf dem ersten Tippschein. Mit anderen Worten:

Die Wahrscheinlichkeit mit einem Tippschein mit 5 Tipps mindestens einen Gewinn zu erzielen ist nicht immer gleich! Damit kann es keine für alle Tippscheine mit 5 Tipps gültige einheitliche Wahrscheinlichkeit dafür geben, dass man mit diesem Tippschein einen Gewinn erzielt. Mit dem ersten der beiden hier verwendeten Beispiele

Dieses Dilemma mit der falschen Lösung ist sicher dadurch entstanden, dass die "Erfinderin" oder der "Erfinder" dieser Aufgabe selbst nicht sattelfest in Wahrscheinlichkeitsrechnung war. Diese Lösung mit einem Tippschein wäre nur dann korrekt, wenn es auch 6 Ziehungen gibt, die erste Ziehung für den ersten Tipp, die zweite Ziehung für den zweiten Tipp

u

s

w

u

s

f

. Alternativ kann man die Aufgabe auch so zu einer sinnvollen Aufgabe umgestalten, dass man 6 Tippscheine ausfüllt und mit jedem Tip an einer anderen Ziehung teilnimmt. Sind die 6 Tipps aber auf einem Schein, dann gelten sie für ein und die selbe Ziehung! Jetzt wird der eine oder andere Lotto-Experte kommen und sagen, dass man mit einem Tippschein ja auch an mehreren Ziehungen teilnehmen kann,

z . B

. auch an 6 Ziehungen. Aber da kontere ich dann, dass man dann die anhand der Struktur der getippten Zahlen geltende Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn erst ermitteln muss und für diese Wahrscheinlichkeit kann man dann die Binomialverteilung hernehmen, um die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn bei 6 Tipps und 6 Ziehungen zu ermitteln.

tommy40629 aktiv_icon

21:08 Uhr, 24.09.2014

Hey Leute!

Würde es nicht Sinn machen einmal an den Verlag zu schreiben?

Ich habe je in den Semesterferien mir Stochastik beibringen müssen und dafür habe ich mit die Lambacher Schweizer Bücher für NRW Gymnasium geholt. Und zwar 7. Klasse, 8.Klasse, 10. Klasse die 11. Klasse und den LK 12. Klasse.

Momentan bin ich im 11-er Buch.

Diese Problem der unklaren Aufgabenstellung zieht sich von der 7. Klasse bis in die 11.

Das was Bummerrang am Ende geschrieben hat, sollte man dem Verlag sagen.

Matlog aktiv_icon

11:52 Uhr, 25.09.2014

Bummerang hat die Ursache des Scheiterns unserer Aufgabenstellung ganz klar lokalisiert: es findet nur eine Ziehung statt.
Gleichzeitig gibt er die Reparaturanleitung: Für jeden Tipp eine Ziehung.

Ich suche aber immer noch nach der mathematischen Begründung, warum die ursprüngliche Aufgabe nicht funktioniert bzw. die unterschiedlichen Auffassungen entstanden sind.
Mittlerweile habe ich Zweifel, ob meine bisherigen Argumente stimmen bzw. zusammen passen.

Ich hatte gesagt, dass das einzige Zufallsexperiment die einmalige Lottoziehung ist. Richtig, aber wie soll daraus etwas wie eine Bernoullikette entstehen?
Also kommt DrBoogie mit seiner Ummodellierung:
Es werden zufällige Tipps abgegeben, während die gezogenen Zahlen bereits feststehen.
Dass jetzt die Anzahl der Gewinne binomialverteilt ist, ist klar!

Daraus kann ich jetzt nur schließen, dass die Ummodellierung nicht erlaubt war.

@tommy40629:
Der Verlag sollte sich freuen, wenn ihn jemand auf konkrete Fehler aufmerksam macht!
Du siehst aber, dass bei dieser Aufgabe unter uns (noch) keine Einigkeit herrscht.
Selbst bei einfachen Aufgaben findet manchmal einer eine Formulierung unklar, während das für einen anderen eindeutig formuliert ist. (Umso mehr sollte sich deshalb natürlich ein Aufgabenersteller bemühen, dass kein Interpretationsspielraum entsteht!)

Bei vielen Deiner hier im Forum gestellten Fragen finde ich, dass Deine Probleme nicht durch die Aufgabenstellung entstanden sind, sondern durch Deine Denkfehler (auf dem Weg zur Erkundung der Wahrscheinlichkeitstheorie).

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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