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Wahrscheinlichkeit berechnen mit Approximation

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Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Binomialverteilung, Normalverteilung, Sonstig, Wahrscheinlichkeitsmaß

Alma07

16:46 Uhr, 28.01.2019

Hey ihr Lieben,

Ich hab wieder mal ein mathematisches Problem und würde mich über jede Hilfe freuen! Ich habe zwar schön viele ähnliche Aufgaben gefunden, bin mir aber trotzdem nicht sicher, ob ich bei meiner gleich vorgehen kann...

Eine Maschine produziert

11 %

Ausschuss, mit welcher Wahrscheinlichkeit sind bei einer Charge von

1600

Stück zwischen

154

und

198

Stück Ausschuss?

Für die Berechnung soll man die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung sowie die Stetigkeitskorrektur verwenden und das Ergebnis dimensionslos auf 3 Nachkommastellen gerundet angeben.

Kann mir jemand erklären, wie ich hier vorgehen muss? Verstehe leider nur Bahnhof

. .

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente

DerDepp aktiv_icon

17:28 Uhr, 28.01.2019

Hossa :-)

Die Wahrscheinlichkeit für Ausschuss-Produktion ist

p = 11 % = 0, 11

. Bei einer Charge von

n = 1600

Teilen liegt der Erwartungswert der Binomialverteilung bei

μ = n \cdot p = 1600 \cdot 0, 11 = 176

defekten Teilen. Die Varianz der Binomialverteilung ist

σ^{2} = n \cdot p \cdot (1 - p) = 1600 \cdot 0, 11 \cdot 0, 89 = 156, 64

. Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz, also:

σ \approx 12, 5156

Du sollst nun mit Hilfe der Gauß-Verteilung die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass die Anzahl

x

der defekten Teile zwischen

154

und

198

liegt, also ist

P (154 \leq x \leq 198)

gesucht. Mit der Setigkeitskorrektur bei ganzzahligen Werten wird berücksichtigt, dass die Gaußverteilung kontinuierlich ist. Dazu subtrahiert man von der unteren Grenze

0, 5

und addiert zur oberen Grenze

0, 5

hinzu:

P (153, 5 < x < 198, 5) = P (x < 198, 5) - P (x < 153, 5)

Da die Berechnung der Gauß-Verteilung ein fummeliges Integral ist, gibt es Tabellen, in denen die Gauß-Verteilung für den Mittelwert

0

und die Standardabweichung

1

tabelliert ist, die sog. Standard-Normalverteilung

Φ (z)

. Durch die sog. "z-Transformation" kannst du jede Normalverteilung mit beliebigem Mittelwert und beliebiger Standardabweichung auf die Standard-Normalverteilung

Φ (z)

transformieren:

z_{1} = \frac{x_{1} - μ}{σ} = \frac{153, 5 - 176}{12, 5156} \approx - 1, 7978; z_{2} = \frac{x_{2} - μ}{σ} = \frac{198, 5 - 176}{12, 5156} \approx 1, 7978

Damit reduziert sich die "Berechnung" der gesuchten Wahrscheinlichkeit auf das Ablesen von Tabellen-Werten der Standard-Normalverteilung

Φ (z)

P (153, 5 < x < 198, 5) = Φ (1, 7989) - Φ (- 1, 7989) \approx 0, 9639 - 0, 0361 = 0, 9278 \approx 0, 928

anonymous

17:31 Uhr, 28.01.2019

Moivre-Laplace, siehe auch

de.wikipedia.org/wiki/Normal-Approximation

schau mal...

Alma07

22:22 Uhr, 29.01.2019

Super! Vielen, vielen, lieben Dank für eure schnelle und ausführliche Erklärungen! So hab das sogar ich kapiert! :-)

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