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Wahrscheinlichkeiten/dreifacher Würfelwurf

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Gewinn, Verlust, Wahrscheinlichkeit

Sanjay aktiv_icon

21:51 Uhr, 11.03.2010

Hallo ihr Lieben,

hier bin ich wieder mit einer Aufgabe:-).

Ein Würfel mit dem abgebildeten netz wird dreimal geworfen.

a)

der dreifache würfelwurf wird für ein spiel genutzt. ein durchgang kostet 1 € einsatz. man gewinnt, wenn keine zwei gleichen zahlen hintereinander fallen. im gewinnfall werden 4€ ausgezahlt. ist das spiel für den spieler lukrativ?

b)

wie müsste man die auszahlung verändern, um das spiel aus

a)

fair zu gestalten?

das netz sieht so aus:

1

212

1
1

ICH BEDANKE MICH SCHONMAL FÜR EURE HILFE. VIELEN VIELEN DANK! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

bruce57 aktiv_icon

22:56 Uhr, 11.03.2010

Hallo Sanjay,

so müsste es gehen

(P

steht für Probability, also Wahrscheinlichkeit):

Erster für Spieler günstige Verlauf:

P (1

. Wurf

= 1) = \frac{4}{6}

P (2

. Wurf

= 2) = \frac{2}{6}

P (3

. Wurf

= 1) = \frac{4}{6}

Da es voneinander unabhängige Ereignisse sind ("Der Würfel hat kein Gedächtnis"), gilt also

P

("1,2,1")

= \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{32}{216}

Zweiter für Spieler günstige Verlauf:

P (1

. Wurf

= 2) = \frac{2}{6}

P (2

. Wurf

= 1) = \frac{4}{6}

P (3

. Wurf

= 2) = \frac{2}{6}

Wie oben:
P("2,1,2")

= \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{16}{216}

P

(günstiger Verlauf)

= \frac{32}{216} + \frac{16}{216} = \frac{48}{216} \approx 0,2222

Also gewinnt der Spieler nur in ca.

22 %

der Fälle, bekommt aber im Gewinnfall nur den 4fachen Einsatz ausgezahlt.

\to

Antwort auf Frage

a)

Das Spiel ist für den Spieler nicht lukrativ.

b)

Fair wäre das Spiel, wenn der Spieler im Gewinnfalle

\frac{1}{\frac{48}{216}} = 4,5

EUR
Gewinn ausbezahlt bekäme.

LG
Andreas

Sanjay aktiv_icon

23:04 Uhr, 11.03.2010

Hallo bruce57,

danke für deine antwort. Sie war schon mal sehr hilfreich :-).

hab bei der

b)

noch die frage, wieso ich

1 \div \frac{48}{216}

rechnen muss.

danke schon mal im voraus :-).

lg

bruce57 aktiv_icon

23:19 Uhr, 11.03.2010

Gern!

Damit ein Spiel (absolut) fair ist
- aber welcher Veranstalter will das schon, es würde sich ja für ihn nicht lohnen :-)
- müssen Gewinnwahrscheinlichkeit und das Verhältnis Einsatz/Gewinn in ausgeglichenem Verhältnis stehen.

Bei einem normalen Würfel

z . B

. ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu werfen

\frac{1}{6}

.
Also müsste der Spieler im Idealfall im Gewinnfall den 6fachen Einsatz erhalten:

\frac{1}{\frac{1}{6}} = 6

Bei einem Münzwurf wäre die Wahrscheinlichkeit, richtig auf Kopf oder Zahl zu setzen

\frac{1}{2}

. Also sollte der Spieler den doppelten Einsatz bekommen:

\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

Und bei Deiner Aufgabe ist die Wahrscheinlichkeit, "richtig" zu würfeln, eben

\frac{48}{216}; d . h

. im Schnitt gewinnt der Spieler einmal in

4,5

Durchgängen

(48 \cdot 4,5 = 216),

weshalb sein Gewinn entsprechend

4,5

mal der Einsatz sein sollte:

\frac{1}{\frac{48}{216}} = 4,5

Hoffe, dadurch wird es etwas klarer.

LG
Andreas

Sanjay aktiv_icon

23:28 Uhr, 11.03.2010

oook, jetzt hab ich diese aufgaben dank deiner erklärung verstanden. ich bedanke mich nochmal recht herzlich für deine ausführlichen antworten...so konnte ich alles super nachvollziehen und verstehen :-).

ich hätte noch eine teilaufgabe zu dieser aufgabe...ich hoffe du hast noch etwas zeit?!

wäre super lieb, wenn du mir hierbei noch helfen könntest :-)

wie groß ist die wahrscheinlichkeit für folgende ereignisse:

A :

es fallen

min

. zwei einsen.

B :

die augensumme beträgt 5

C :

die augensumme ist ungerade.

Sanjay aktiv_icon

23:39 Uhr, 11.03.2010

z . B

wäre mein ansatz bei

A :

gegenwahrscheinlichkeit: es fallen zwei zweien

1 - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = 0.666 = 67 %

stimmt das ergebnis??

bruce57 aktiv_icon

23:47 Uhr, 11.03.2010

Gib mir bitte etwas Zeit - spätestens morgen früh steht es hier :-)

Sanjay aktiv_icon

23:51 Uhr, 11.03.2010

Gut

=)

Echt lieb von dir

=)

Dann guck ich morgen früh nochmal rein :-)

DANKEEE

=)

bruce57 aktiv_icon

00:33 Uhr, 12.03.2010

Guten Morgen Sanjay,

hier zu Deiner Teilaufgabe:

A)

Es fallen mindestens zwei Einsen
Dein Ansatz sieht gut aus, Du musst aber für die Gegenwahrscheinlichkeit auch die Möglichkeit von 3 Zweien berücksichtigen, also:
Gegenwahrscheinlichkeit: Es fallen 2 ODER 3 Zweien.

P

("2,2,2")

= \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{8}{216}

P

("2,2,1")

= \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{16}{216}

analog:

P

("2,1,2")

= \frac{16}{216}

analog:

P

("1,2,2")

= \frac{16}{216}

Also

P (2

oder 3 Zweien)

= \frac{8}{216} + \frac{48}{216} = \frac{56}{216}

Also

P

(mindestens zwei Einsen)

= 1 - \frac{56}{216} \approx 74,07 %

B)

Die Augensumme beträgt 5
Es geht offensichtlich nicht:

111

oder

211

(Reihenfolge hier beliebig). Wir brauchen

221

oder

212

oder

122

. Und dafür ist die
Wahrscheinlichkeit (siehe

A)

P

(Augensumme

5) = \frac{16}{216} + \frac{16}{216} + \frac{16}{216} = \frac{48}{216} \approx 22,22 %

C)

Die Augensumme ist ungerade
- das geht nur mit 3 Einsen oder 2 Zweien und einer Eins:

P

("1,1,1")

= \frac{4}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{64}{216}

siehe oben:

P

("2,2,1")

= \frac{16}{216}

siehe oben:

P

("2,1,2")

= \frac{16}{216}

siehe oben:

P

("1,2,2")

= \frac{16}{216}

Deshalb

P

(Augensumme ungerade)

= \frac{112}{216} \approx 51,85 %

Einen schönen und erfolgreichen Tag wünscht
Andreas

Sanjay aktiv_icon

19:38 Uhr, 12.03.2010

Hey Andreas :-)

Du warst mir eine sehr sehr große Hilfe. Ich hätte die Aufgabe nicht allein lösen können. Hab nämlich zu einfach gedacht. Aber du hast mir alles super erklärt und die Lösungen berechnet. Bin dir wirklich sehr dankbar für deine aufgebrachte Zeit und Mühe:-).

Weiterhin alles Gute wünscht dir
Sanjay :-)

bruce57 aktiv_icon

20:21 Uhr, 12.03.2010

Hi Sanjay,

gern geschehen!
Wenn ich mich in einem Teilgebiet der Mathematik halbwegs gut auskenne, gebe ich dieses Wissen gerne weiter :-)

Vielleicht hört man ja mal wieder voneinander :-)

Auch Dir alles Gute und LG
Andreas

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