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Wahrscheinlichkeitsaufgabe Tetraderwürfel

Universität / Fachhochschule

Tags: tetraederwürfel, Wahrscheinlichkeit

tanjasa aktiv_icon

11:49 Uhr, 12.06.2014

Aufgabe:

Bei einem Tetraederwürfel sind die Seiten mit den Ziffern,

1,2,3,4

beschriftet. Sie würfeln viermal nacheinander mit dem Würfel.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie

a)

Genau zweimal eine gerade Zahl erhalten

b)

mindestens einmal eine gerade Zahl erhalten

c)

die Augensumme

14

würfeln

Bei der a steht in den Lösungen

6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{2}{4} \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = \frac{3}{8}

Ich würde gerne wissen, wie man auf diese

6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

kommt..

Bei der

b

steht in den Lösungen, dass man mit der Gegenwahrscheinlichkeit rechnet.. Hier ist die Gegenwahrscheinlichkeit

\frac{1}{16} .

. Da versteh ich auch nicht wie man so darauf kommt.

Vielen Dank im Voraus!:-)))

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

12:04 Uhr, 12.06.2014

Allgemein: die Menge der Ereignise ist

{(a, b, c, d) : a, b, c, d \in {1, 2, 3, 4}}

.
Anzahl aller Ereignise:

4^{4}

.

a) "Passende" Ereignise sind alle Tupel

(a, b, c, d)

, wo genau zwei Einträge gerade sind. Diese Ereignise kann man so zählen:
zuerst mal wähle zwei Stellen, an welchen gerade Zahlen stehen, dafür gibt's

(\binom{4}{2}) = 6

Varianten,
weiter können an jeder von diesen Stellen jede gerade Zahl stehen, davon gibt's

2

Zahlen, nämlich

2

und

4

, also gibt's

2 \cdot 2

Varianten, gerade Zahlen auf die ausgewähten Stellen zu plazieren,
weiter dürfen an anderen zwei Stellen nur ungerade Zahlen stehen, davon gibt's wieder

2

, das sind

1

und

3

, also auch hier

2 \cdot 2

Varianten.
Insgesamt gibt's also

6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

von "passenden" Ereignissen, von insgesamt

4^{4}

, dies ergibt die W-keit

\frac{6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{4^{4}}

.

b) Gegenereignis: nur ungerade Zahlen. Anzahl solcher Tupel:

2^{4}

tanjasa aktiv_icon

12:28 Uhr, 12.06.2014

Ich habe das soweit verstanden..
Also der Würfel hat 4 seiten, davon müssen 2 Seiten gerade sein und 2 Seiten ungerade sein.
Da es ja immer 2 Möglichkeiten gibt entsteht das

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Aber ich verstehe das mit den 6 Variationen nicht so ganz... Wieso muss man diese für ungerade Zahlen berechnen und dann mit multiplizieren:-)?

DrBoogie aktiv_icon

12:36 Uhr, 12.06.2014

Nun, diese zwei geraden Zahlen können auf verschiedenen Stellen stehen.
Diese 6 Varianten sind:

(G, G, U, U), (G, U, G, U), (G, U, U, G), (U, G, G, U), (U, G, U, G), (U, U, G, G)

,
wo

U

für ungerade steht und

G

für gerade.
Alle Varianten sind verschieden, Du musst alle berücksichtigen.
Du kannst es so sehen, dass jeder passende Tuppel zu genau einer von diesen 6 Gruppen gehört. Und weiter kann man getrennt die Anzahl der Tupel in jeder Gruppe berechnen. Z.B. in der Gruppe

(G, G, U, U)

gibt'S

2^{4} = 16

Tupel

(2, 2, 1, 1)

(2, 2, 1, 3)

(2, 2, 3, 1)

(2, 2, 3, 3)

(2, 4, 1, 1)

(2, 4, 1, 3)

(2, 4, 3, 1)

(2, 4, 3, 3)

(4, 2, 1, 1)

(4, 2, 1, 3)

(4, 2, 3, 1)

(4, 2, 3, 3)

(4, 4, 1, 1)

(4, 4, 1, 3)

(4, 4, 3, 1)

(4, 4, 3, 3)

.
Und in allen anderen auch

16

, es geht genauso.

tanjasa aktiv_icon

12:42 Uhr, 12.06.2014

Ah okay!:-) Habe es jetzt verstanden... Vielen Dank schonmal!:-)

Woran erkennt man allgmein bei solchen Aufgaben, dass man die Variationen noch mit dazu berechnen muss?:-)

DrBoogie aktiv_icon

13:55 Uhr, 12.06.2014

Ich kenne keine allgemeine Regel.

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