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Wahrscheinlichkeitsberechnung bei Normalverteilung

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Tags: Normalverteilung, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Wahrscheinlichkeitsverteilung

 
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KingJoffrey

KingJoffrey aktiv_icon

09:34 Uhr, 24.06.2016

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Hey Leute,
Ich habe eine Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiter komme, da mir kein vernünftiger Lösungsansatz einfällt.

Die Aufgabe:

X sei eine normalverteilte Variable mit mü=5 und σ2=9. Ermitteln Sie einer passenden Tabelle.
1)P(X≥7)
2)P(X≤7)
3)P(X=7)
4) das 0,40 Quantil von X

Ich hab da leider keinen vernünftigen Ansatz. Ich hab zuerst gedacht, dass ich das mit der Binomialverteilung approximieren soll. Allerdings hab ich ja kein n und kein p. Ich hoffe irgendwer kann mir dabei helfen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DerDepp

DerDepp aktiv_icon

10:50 Uhr, 24.06.2016

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Hossa :-)

Für eine normalverteilte Zufallsvariable Z mit dem Erwartungswert μz=0 und der Varianz σz2=1 sind die Werte in Form der sog. "Standard-Normalverteilung" Φ(z) tabelliert. Φ(z) gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit P ist, dass die Zufallsvariable Z einen Wert kleiner (oder gleich) z hat, also:

P(Z≤z)=Φ(z)

Die Wahrscheinlichkeit, dass Z einen Wert größer als z hat ist folglich

P(Z>z)=1-P(Z≤z)=1-Φ(z)

Für z sind auch negative Werte möglich, diese Angaben fehlen aber in fast allen Tabellen. Wegen der Symmetrie der Gauß-Glocke ist nämlich die Wahrscheinlichkeit P(Z≤-z) genau so groß wie die Wahrscheinlichkeit P(Z>z). Das heißt, es gilt:

Φ(-z)=1-Φ(z)

Wichtig ist noch, dass die Normalverteilung nur für kontinuierliche Zufallsvariablen Z gilt. Man kann also nur ablesen, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Variable Z in einem bestimmten Intervall landen wird. Deswegen nimmt man es auch mit dem Gleichheitszeichen nicht so genau und nimmt Φ(z) sowohl für P(Z≤z) als auch für P(Z<z).

Wenn die Zufallsvariable Z aber diskrete Werte annimmt und normalverteilt ist, kann man folgende Näherung verwenden, sie heißt "Stetigkeitskorrektur":

P(Z=z)≈P(z-0,5≤Z<z+0,5)=P(Z<z+0,5)-P(Z<z-0,5)=Φ(z+0,5)-Φ(z-0,5)

So, jetzt hast du noch ein Problem, nämlich dass deine Zufallsvariable X zwar normalverteilt ist, aber nicht den Erwartungswert 0 und die Varianz 1 hat. Das lässt sich durch die sog. "Normalisierung" heilen. Statt mit der Zufallsvariablen X rechnest du mit der Zufallsvariablen Z, die wie folgt definiert ist:

Z:=X-μxσx

Dieses so berechnete Z hat immer den Erwartungswert μz=0 und die Varianz σz2=1.
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