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Wahrscheinlichkeitsberechnungen Tischtennisbälle

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

icefox01 aktiv_icon

09:53 Uhr, 20.05.2019

Guten Morgen,

ich bearbeite gerade eine Aufgabe und bin mir unsicher ob meine Lösungen stimmen. Vielleicht kann sich das mal jemand ansehen? :-D)

Die Aufgabe lautet:
Die Firma PingPong produziert Tischtennisbälle. Tischtennisbälle sind im Spielbetrieb extremen
Belastungen ausgesetzt, erst nach aufwändigen Testverfahren kommen die Bälle als Turnierbälle in den Handel. Bälle, die bei der Herstellung durch die Kontrollen fallen, werden als Trainingsbälle angeboten.

(a)

Unter den Trainingsbällen weisen

5 %

der Bälle starke Verformungen,

7 %

der Bälle Nahtfehler
und

2 %

aller Bälle sogar beide Fehler auf. Weist ein Ball mindestens einen der beiden Fehler
auf, ist er unbrauchbar. Andere Fehler treten nicht auf. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind
unter

10

unbrauchbaren Bällen genau zwei mit Nahtfehlern?

Meine Lösung:

P (X = 2) = (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{7}{12})}^{2} \cdot {(1 - \frac{7}{12})}^{8}

(b)

Gehen Sie nun davon aus, dass

10 %

der Trainingsbälle einer Firma völlig unbrauchbar sind.

(i)

Trainingsbälle werden in Großpackungen zu

100

Stück angeboten. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man mehr als

11,

aber höchstens

14

völlig unbrauchbare Bälle in einer solchen Packung findet.

P (12 \leq X \leq 14) = P (x = 12) + P (x = 13) + P (x = 14) = \sum_{i = 0}^{2} (\begin{matrix} 100 \\ 12 + i \end{matrix}) \cdot {0,1}^{12 + i} \cdot {(1 - 0,1)}^{88 - i}

(ii) In einer 12er Packung befinden sich genau 3 völlig unbrauchbare Bälle. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 6 daraus zu entnehmenden Bällen genau 2 völlig unbrauchbare Bälle befinden.

Das weiß ich nicht.

(iii) Ermitteln Sie die Anzahl der Trainingsbälle, die man der Produktion mindestens entnehmen müsste, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als

95 %

mindestens einen völlig unbrauchbaren Ball zu erhalten.

P (X \geq k) = 0,95

aber wie berechne ich das?

(c)

Trotz der Kontrollen liegt der Anteil der einwandfreien Turnierbälle unter den als Turnierball klassifizierten Tischtennisbällen erfahrungsgemäß nur bei

92 %

. Ein Tischtennisverein ordert

1000

Turnierbälle. Bestimmen Sie die größte Zahl

k

so, dass die Wahrscheinlichkeit, mit dieser Lieferung mindestens

k

einwandfreie Turnierbälle zu erhalten, größer als

98 %

ist.

P (X = k) > 0,98

das kann ich leider auch nicht.

(d)

Die Firma PingPong räumt Kunden ein, mangelhafte Bälle zurückzugeben. Im Durchschnitt werden

5 %

der ausgelieferten Bälle bemängelt. Für jeden zurückgegebenen Ball erleidet die Firma einen Verlust von

0.30 e,

für jeden nicht zurückgegebenen Ball erzielt sie einen Gewinn von

0.80 e

. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der die Firma bei einer Lieferung von

1000

Bällen einen Gesamtgewinn von mindestens

750 e

erzielt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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10:17 Uhr, 20.05.2019

b)ii)

\frac{(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix})}

oder:

\frac{3 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7} \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix})

iii)

1 - {0,9}^{n} \geq 0,95

c) (\begin{matrix} 1000 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,92}^{k} \cdot {0,08}^{1000 - k} \geq 0,98

d) - 0,3 x + (1000 - x) \cdot 0,8 \geq 750

x \leq 45,45 d . h

. Es dürfen höchstens

45

Bälle mangelhaft sein.

n = 1000, p = 0,05

P (X \leq 45) = . .

anonymous

13:21 Uhr, 20.05.2019

a)

Du hast in "Meine Lösung" einen Ausdruck

{(\frac{7}{12})}^{2}

stehen.
Kannst du erläutern, überdenken oder korrigieren, was du dir dabei gedacht hast?

icefox01 aktiv_icon

13:30 Uhr, 20.05.2019

Naja die Wahrscheinlichkeit von binomialverteilte Zufallsvariable ist ja

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

Da mein

n = 10, k = 2

und

p = \frac{7}{12}

ist komme ich darauf. Ist das nicht korrekt?

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13:34 Uhr, 20.05.2019

7 % = \frac{7}{100} = 0,07

:-)

Wie kommst du auf

12

im Nenner?

icefox01 aktiv_icon

13:40 Uhr, 20.05.2019

Naja die Frage war ja wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist dass unter

10

unbrauchbaren 2 dabei sind.
Da hier nur die unbrauchbaren sind dachte ich es sind

12 %

von diesen. Und deshalb

12

.

Wo würde sonst das vorkommen dass ich nur

10

unbrauchbare Bälle habe?

anonymous

13:56 Uhr, 20.05.2019

Vorschlag: Vier-Felder-Tafel
Dann werden wir die

10; 12; 0.07

hoffentlich übersichtlicher vor Augen haben...

icefox01 aktiv_icon

14:09 Uhr, 20.05.2019

Keine Ahnung wie die Vierfelder Tafel hier aussehen würde .

: (

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14:24 Uhr, 20.05.2019

Zu a) Vierfeldertafel Fehler

Aus den Angaben erhält man folgende Vierfeldertafel. Die fehlenden Angaben lassen sich leicht ergänzen.

\begin{matrix} Verformung & keine Verform. \\ Nahtfehler & 0, 02 & 0, 07 \\ keine Nahtf. \\ 0, 05 & 1 \end{matrix}

Die Linien musst du dir dazu denken.

Noch ein Hinweis: Bei der Aufgabe geht es um

\underline{bedingte}

Wahrscheinlichkeit.

icefox01 aktiv_icon

15:13 Uhr, 20.05.2019

Ah ok. Ja das verstehe ich aber was ich mit den

10

unbrauchbaren machen soll weiß ich immer noch nicht.

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15:34 Uhr, 20.05.2019

Man muss berechnen: P(2 Nahtfehler|10 Unbrauchbare)

Mit Bayes ergibt sich P(2 Nahtfehler

\cap

10 Unbrauchbare)/P(10 Unbrauchbare)

=P(2 Nahtfehler

\cap

8 ohne Nahtfehler, aber fehlerhaft)/P(10 Unbrauchbare)

anonymous

18:04 Uhr, 20.05.2019

Du musst einfach den Aufgabentext lesen und nutzen. Da hat sich extra jemand bemüht, sich verständlich zu machen.
"Unter den Trainingsbällen weisen

5 %

der Bälle starke Verformungen,

7 %

der Bälle Nahtfehler und

2 %

aller Bälle sogar beide Fehler auf. Weist ein Ball mindestens einen der beiden Fehler auf, ist er unbrauchbar."

Also,

>

wie sieht deine VierFelderTafel aus?

>

welcher Anteil der Bälle ist unbrauchbar?

>

welcher Anteil der unbrauchbaren Bälle haben Nahtfehler?

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