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Wahrscheinlichkeitsdichte einer Dartscheibe

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte

Fisch18 aktiv_icon

16:22 Uhr, 23.01.2025

Hallo,
ich bräuchte wieder Hilfe bei folgender Aufgabe.
Eine Dartscheibe hat einen Durchmesser von 32cm. Ein Spieler zielt auf die Mitte der Dartscheibe, das sogenannte "Bullseye". Die Position, an dem der Pfeil trifft, lässt sich mit folgender Wahrscheinlichkeitsdichte beschreiben.

f (x, y) = \frac{1}{2 π} e^{- \frac{x^{2} + y^{2}}{2}}

(x, y) \in ℝ

beschreibt die Position des Pfeils bezüglich des Zentrums der Scheibe in kartesischen Koordinaten und cm.

a)Die Zufallsvariable X beschreibe die Entfernung eines geworfenen Dartpfeils vom Mit-telpunkt der Scheibe. Zeige

ℙ (X \leq R) = 1 - e^{- R^{2} / 2}

b)Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler das 31.8mm durchmessende Bull verfehlt.

Über Hilfe würde ich mich freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

17:13 Uhr, 23.01.2025

Was du dort hingeschrieben hast, ist die Dichte der zweidimensionalen Normalverteilung - das nur als Anmerkung, für die anstehende Berechnung ist das nicht wirklich wichtig.

Die Entfernung vom Mittelpunkt

X

zu nennen, ist eine unglückliche Symbolwahl, genauso wie die fixe Entfernung

R

zu nennen - man sollte sich hier besser an die Konvention halten "Großbuchstaben für Zufallsgrößen; Kleinbuchstaben für (deterministische) reelle Zahlen".

In dem Sinne bezeichne ich folgende drei Zufallsgrößen

X

... x-Koordinate des Dartpfeils

Y

... y-Koordinate des Dartpfeils

R

... Entfernung des Dartpfeils vom Zentrum

Offenbar besteht der Zusammenhang

R = \sqrt{X^{2} + Y^{2}}

. Ausrechnen wollen wir die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße

R

F_{R} (r) = P (R \leq r) = P (R^{2} \leq r^{2}) = P (X^{2} + Y^{2} \leq r^{2})

D.h., wir müssen die gegebene zweidimensionale Dichte

f

über die Kreisscheibe

K_{r} = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq r^{2}}

integrieren. Das gelingt am besten mit Polarkoordinatentransormation

x = ϱ \cos (φ), y = ϱ \sin (φ)

mit

d x d y = ϱ d ϱ d φ

F_{R} (r) = \int_{K_{r}} \int \frac{1}{2 π} e^{- \frac{x^{2} + y^{2}}{2}} d x d y = \int_{ϱ = 0}^{r} \int_{φ = 0}^{2 π} \frac{1}{2 π} e^{- \frac{ϱ^{2}}{2}} ϱ d φ d ϱ

= \int_{ϱ = 0}^{r} e^{- \frac{ϱ^{2}}{2}} ϱ d ϱ = {[- e^{- \frac{ϱ^{2}}{2}}]}_{ϱ = 0}^{r} = 1 - e^{- \frac{r^{2}}{2}}

Fisch18 aktiv_icon

20:56 Uhr, 23.01.2025

Danke für die Antwort und die Bemerkung mit der Notation. Für die b) müsste man einfach nur die a) verwenden, oder?

pivot aktiv_icon

22:29 Uhr, 23.01.2025

Ja. Aber wie würdest du es anwenden?

HAL9000

09:10 Uhr, 24.01.2025

In der Tat lauern dabei immer noch drei kleine Fallstricke, und jeder der drei kann das richtige Ergebnis vernichten. ;-)

Fisch18 aktiv_icon

16:48 Uhr, 24.01.2025

Ja, das ist schon tückisch. Die Mitte hat einen Durchmesser von 31.8mm und

R

haben wir ja definiert als die Entfernung des Dartpfeils vom Zentrum der Scheibe. Mein erster Gedanke war einfach die 31.8mm in a) einzusetzen, aber das ist nicht richtig.

HAL9000

17:02 Uhr, 24.01.2025

Du könnstest auch einfach darlegen, wie du (nach bestem Wissen und Gewissen) rechnen würdest - statt allerlei Varianten aufzuzählen, wo du denkst bzw. fast sicher bist, dass sie falsch sind. ;-)

Fisch18 aktiv_icon

17:16 Uhr, 24.01.2025

Mein Gedanke wäre

ℙ (X \leq 0, 318) = 1 - e^{- 0, 31 8^{2} / 2}

. Aber wäre zu einfach.

HAL9000

23:05 Uhr, 24.01.2025

Leider bist über alle drei Fallstricke gestolpert, die ich oben im Sinn hatte:

1) Die notwendige Umrechung in cm hast du zwar erkannt, aber dann doch falsch gerechnet:

31.8mm sind 3.18cm, nicht 0.318.

2) 3.18cm Durchmesser entspricht 1.59cm Radius, und man ist außerhalb des Bullseye, wenn die Entfernung vom Mittelpunkt größer als der Radius dieses Feldes ist.

3) Gesucht ist

P (R > 1.59) = 1 - P (R \leq 1.59) = 1 - F_{R} (1.59) = e^{- \frac{1.5 9^{2}}{2}} \approx 0.2825

Fisch18 aktiv_icon

10:57 Uhr, 25.01.2025

Ach verdammt, ja das hätte ich besser beachten sollen. Vielen Dank für die Hilfe.

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