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Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bestimmen

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Fisch18 aktiv_icon

12:04 Uhr, 19.01.2025

Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe.

Sei

X

eine Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

f : ℝ \to ℝ

und

Y := a X + b

mit

a \in ℝ ∖ {0}

und

b \in ℝ

.

a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

g

von

Y

.
b) Zeige dass die stetigen Zufallsvariablen

X

und

- X

genau dann die selben Verteilungsfunktion besitzen, wenn

f (x) = f (- x)

gilt.

Über Hilfe würde ich mich freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

14:57 Uhr, 19.01.2025

a) Seien

F_{X}

sowie

F_{Y}

die Verteilungsfunktionen der beiden Zufallsgrößen. Im Fall

a > 0

kann man dann umformen

F_{Y} (x) = P (Y \leq x) = P (a X + b \leq x) \overset{!}{=} P (X \leq \frac{x - b}{a}) = F_{X} (\frac{x - b}{a})

Nun gilt

F_{X} ´ = f_{X} = f

sowie auch

F_{Y} ´ = f_{Y}

fast überall, es folgt

f_{Y} (x) = \frac{d}{d x} F_{X} (\frac{x - b}{a}) = f (\frac{x - b}{a}) \cdot \frac{1}{a}

gemäß Kettenregel.

Für

a < 0

geht es so ähnlich, der Beginn ist wegen der anderen Ungleichungsumformung aber etwas abweichend:

F_{Y} (x) \overset{!}{=} P (X \geq \frac{x - b}{a}) = 1 - F_{X} (\frac{x - b}{a})

f_{Y} (x) = - f (\frac{x - b}{a}) \cdot \frac{1}{a}

.

Beide Fälle kann man zusammenfassen zur Formel

f_{Y} (x) = f (\frac{x - b}{a}) \cdot \frac{1}{∣ a ∣}

Fisch18 aktiv_icon

16:22 Uhr, 19.01.2025

Danke für die Antwort bei der a), aber ich sehe nicht wie ich die b) lösen kann.

HAL9000

17:09 Uhr, 19.01.2025

b) Verwende a) mit

a = - 1, b = 0

Fisch18 aktiv_icon

17:40 Uhr, 19.01.2025

Alles klar. Vielen Dank!

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