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Wahrscheinlichkeitsrechnung, Urnenmodelle

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Urnenmodelle 3 Züge vergleichen, Wahrscheinlichkeitsrechnung

SuziW aktiv_icon

21:49 Uhr, 07.01.2025

Leider komme ich auch mit dieser Mathe-Aufgabe nicht weiter und die Auflösung ging mit viel zu schnell:
Es sollen in 3 Zügen nacheinander die Buchstaben für das Wort NIX gezogen werden.
Die Buchstaben sind in
Urne

A : N, I, X

Urne

B : N, I, X, N, I, X

Urne

C : N, I, X, N

a)

Die 3 Buchstaben werden jeweils aus einer Urne ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für NIX für jede der 3 Urnen und gib an, welche Urne am günstigsten ist.

b)

Berechne die Wahrscheinlichkeit für NIX, wenn man die 1. Kugeln aus Urne

A,

die 2. Kugel aus Urne

B

und die 3. aus Urne

C

zieht.

c)

Die Inhalte aller Urnen werden zusammengeschüttet. Berechne die Wahrscheinlichkeit für NIX, wenn man

(1)

mit Zurücklegen zieht,

(2)

ohne Zurücklegen zieht.
Sorry, ganz schön viel. Aber alleine für Tipps zu

a)

wäre ich schon glücklich! Der Rest auch sehr gerne...

Ich komme nur bis zu Urne

A :

Bei Zug 1 kann ich nichts falsch machen, also Wahrscheinlichkeit

\frac{3}{3}

. Bei Zug 2 WHT

\frac{2}{2}

. Bei Zug 3 WHT

\frac{1}{1}

. Also

1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 = 100 %

. Urne A ist am günstigsten. Aber dann scheitert mein Vorstellungsvermögen... Vielen lieben Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

22:18 Uhr, 07.01.2025

>

Bei Zug 1 kann ich nichts falsch machen
Das kommt darauf an, wie die Aufgabenstellung zu verstehen ist. Leider ist das nicht eindeutig formuliert.

Es geht darum, ob die Reihenfolge eine Rolle spielen soll.

Die Formulierung "Es sollen in 3 Zügen nacheinander die Buchstaben für das Wort NIX gezogen werden." kann man durchaus so verstehen, dass der erste gezogene Buchstabe das "N" sein muss, der zweite das "I" und der letzte dann eben ein "X".
In dem Fall wäre bei Urne A die Wahrscheinlichkeit nur

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{6} \approx 16,67 %

.

Wenn die Reihenfolge egal sein soll und man bloß die Buchstaben nach der dreimaligen Ziehung zu "NIX" anordnen könne soll, dann wäre dein Ergebnis

100 %

für Urne A richtig.
Allerdings vermute ich stark, dass die Aufgabe nicht so gemeint ist, denn dann müsste man ja nicht extra betonen, dass "hintereinander" gezogen wird - da könnte man ja auch mit einem Griff drei Buchstaben ziehen.

Unklar ist bei der Aufgabenstellung auch, ob die Buchstaben nach der Ziehung vielleicht wieder zurück gelegt werden sollen.
Falls es dann auch auf die Reihenfolge ankommt, wäre das Ergebnis für Urne_A

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27} \approx 3,7 %

.
Und falls zurückgelegt wird, es aber nicht auf die Reihenfolge ankommt, dann ist das Ergebnis für Urne_A

\frac{3}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \approx 22,22 %

.

Du siehst also, dass man je nach Interpretation der Aufgabenstellung für Urne A vier unterschiedliche Ergebnisse bekommt. Du musst also erst einmal klären, wie die Aufgabenstellung genau zu verstehen ist in Hinblick auf Zurücklegen und Reihenfolge.

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22:47 Uhr, 07.01.2025

Tja, wer bringt solche unkonkreten Schulbücher raus? Für mich was die Sache sonnenklar, warum kompliziert, wenn es auch einfach geht. Das wären dann die

100 %

bei Urne

A,

oder?

Allerdings steht in meinem Heft tatsächlich auch 1/3⋅1/2⋅1/1=16,67%. Das wäre ebenfalls die Antwort zu Urne

A,

aber in der anderen Lesart? Das war noch vor den Ferien und ich weiß nicht mehr, was meine Rechenversuche und was die Musterlösung ist. Und zu

B

und

C

ist nur noch weißes Blatt bzw. irrwitzig große Baumdiagramme...

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22:50 Uhr, 07.01.2025

Frage

a)

und

b)

ist denke ich ohne Zurücklegen. Bei

c) 1

steht es dann explizit dabei.

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22:53 Uhr, 07.01.2025

Also nachdem

16,67 %

in meinem Heft auftaucht, würde ich sagen:
Ohne Zurücklegen, aber die Ziehung in der richtigen Reihenfolge, sehe ich das richtig?

Roman-22

22:58 Uhr, 07.01.2025

>

Allerdings steht in meinem Heft tatsächlich auch 1/3⋅1/2⋅1/1=16,67%.
Nun, dann ist wohl davon auszugehen, dass es auf die Reihenfolge, in der die Buchstaben gezogen werden, ankommt. Der erste Buchstabe muss also ein "N" sein!
Und zurückgelegt wird (außer bei

c) (2))

nicht.

Bei Urne_A ist die Wharscheinlichkeit dafür, dass der erste gezogene Buchstabe ein "N" ist, gleich

\frac{1}{3}

. Wie große ist dafür die Wahrscheinlichkeit bei Urne_B und Urne_C.

Und unter der Annahme, dass der erste Buchstabe das gewünschte "N" war und nicht zurückgelegt wird, wie groß ist da bei den drei Urnen jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der zweite gezogene Buchstabe ein "I" ist?
Beachte, dass sich die Anzahl der in der Urne befindlichen Buchstaben geändert hat - ein "N" ist jetzt weg.
Und dann die gleiche Überlegung für die dritte Ziehung und alle drei gefundenen Zahlen multiplizieren.
Es sollte sich rausstellen, dass Urne A mit ihren rund

16,7 %

dennoch die mit der höchsten Wahrscheinlichkeit ist.

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23:09 Uhr, 07.01.2025

Urne

B :

N = \frac{2}{6}

\frac{2}{5}

X = \frac{2}{4}

B = \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{4} = 13,33 %

Urne

C :

N = \frac{2}{4}

\frac{1}{3}

X = \frac{1}{2}

C = \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = 8,33 %

Kann das sein?

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23:10 Uhr, 07.01.2025

"Und unter der Annahme, dass der erste Buchstabe das gewünschte "N" war...", gut formuliert.
Diese Annahme braucht es wohl, sonst kommt man nicht weiter.

Roman-22

23:16 Uhr, 07.01.2025

Der Rechengang stimmt, nur hast du dich bei Urne

B

offenbar vertippt, im Zähler eine 2 zu viel getippt und deshalb das doppelte Ergebnis erhalten. Richtig für Urne

B

ist

\frac{1}{15} \approx 6,67 %

.
Dein Ergebnis für Urne

C

ist mit

\frac{1}{12} \approx 8,33 %

richtig.

>

"Und unter der Annahme, dass der erste Buchstabe das gewünschte "N" war...", gut formuliert.

>

Diese Annahme braucht es wohl, sonst kommt man nicht weiter.
Nun, das entspricht bei einem Baumdiagramm dem Weg, der das gewünschte Ergebnis (eben "NIX") liefert. Die Zweige, bei denen im ersten Schritt ein "I" oder ein "X" gezogen wurde, werden da ja auch nicht weiter verfolgt.
Man spricht hier in der Wahrscheinlichkeitsrechnung von einer sogen. "bedingten Wahrscheinlichkeit". Also die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Buchstabe ein "I" ist unter der Bedingung, dass der erste ein "N" war.

calc007

10:06 Uhr, 08.01.2025

Hallo
Wenn du bitte einfach mal den Aufgabentext unverfälscht/unverändert hierher kopieren könntest, dann wäre ja vielleicht auch endlich die Aufgabe etwas klarer zu verstehen.

Ich gehe einstweilen mal davon aus, dass
"Es sollen in 3 Zügen nacheinander die Buchstaben für das Wort NIX gezogen werden."
so zu verstehen ist, dass die Buchstaben

' N',' I'

und

' X'

in beliebiger Reihenfolge gezogen werden sollen, und dann in die Reihenfolge 'NIX' für das Wort 'NIX' zurechtgelegt werden dürfen.

Wenn ja, dann:
zu

a)

Urne

A,

da machst du ja schon irgend einen Rechenvorschlag. Das mag richtig sein, auch wenn du dir selbst und uns nicht so recht den Gefallen machst, was dieses
"3/3"
oder
"2/2"
oder
"1/1"
bedeuten soll.
Darf ich dieses höchst wahrscheinlich mal einfach in einen anderen Gedankengang führen, und möglicherweise zum selben Ergebnis gelangen:
Wenn du aus Urne A die drei Buchstaben enthält drei Buchstaben ziehst, dann

>

ist doch nichts mehr in der Urne,

>

das geht doch gar nicht anders, als eben die vorliegenden Buchstaben

' N',' I'

und

' X'

zu ziehen,

>

das lässt doch immer die Aufgabe erfüllen,

> d . h

. Wahrscheinlichkeit

p_{A} = 100 %

Urne

B :

1. Zug: Du ziehst einen Buchstaben; da kannst du noch nichts falsch machen.
Dann sind noch fünf Buchstaben in der Urne.
2. Zug: Von den fünfen darfst du doch nur nicht den Zwilling des ersten Zug-Buchstabens ziehen.
Alles andere lässt noch günstigen Ausgang erhoffen.
Also kannst du vier der noch fünf Buchstaben ziehen, um noch Hoffnung zu haben.

\Rightarrow \frac{4}{5}

Dann sind noch vier Buchstaben in der Urne.
3. Zug: Diese vier Buchstaben in der Urne sind doch

>

der eine Zwilling des ersten Zugs,

>

der eine Zwilling des zweiten Zugs,

>

und die zwei Buchstaben, die noch nicht gezogen wurden.
Um also jetzt alle (verschiedenen) Buchstaben für 'NIX' zu ziehen, musst du jetzt einen der zwei noch 'ungezogenen' ziehen.

\Rightarrow \frac{2}{4}

Zusammenfassend:
Um aus Urne

B

die Buchstaben 'NIX' zu finden, hast du die Wahrscheinlichkeit:

p_{B} = 1 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{2}{5} = 40 %

Urne

C :

Ich denke, hier ist eine gute Herangehensweise, sich klar zu machen: Wenn du aus einer Urne mit 4 Buchstaben drei ziehst, dann bleibt noch einer übrig.

>

Es könnte also das erste

' N'

übrig bleiben. Kannst du dann aus den gezogenen Buchstaben 'NIX' bilden?

>

Es könnte also das

' I'

übrig bleiben. Kannst du dann aus den gezogenen Buchstaben 'NIX' bilden?

>

Es könnte also das

' X'

übrig bleiben. Kannst du dann aus den gezogenen Buchstaben 'NIX' bilden?

>

Es könnte also das zweite

' N'

übrig bleiben. Kannst du dann aus den gezogenen Buchstaben 'NIX' bilden?
Welche Wahrscheinlichkeit beschreibt denn nun dieses Vorgehen?

zu

b)

Meine Empfehlung, mein Vorgehen war einfach:
Ich habe mir überlegt, wie ich zu den erforderlichen Buchstaben

' N',' I',' X'

gelangen könnte.
Dazu gibt's doch genau 6 Möglichkeiten nämlich:
Urne

A

Urne

B

Urne

C

' N'' I'' X'

' N'' X'' I'

' I'' N'' X'

' I'' X'' N'

' X'' I'' N'

' X'' N'' I'

Na, anhand dieser Auflistung wird es dir sicher nicht mehr schwer fallen, jeweils die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten aufzulisten.
Willst du mal?
Zeig mal...

zu

c)

Wie viele Buchstaben sind dann in der zusammengeschütteten Urne?
Wie viele

' N'

sind dann in der zusammengeschütteten Urne?
Wie viele

' I'

sind dann in der zusammengeschütteten Urne?
Wie viele

' X'

sind dann in der zusammengeschütteten Urne?
Jetzt sollte die Lösung aber wirklich nicht mehr schwer fallen.
Willst du mal?
Zeig mal...

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14:23 Uhr, 08.01.2025

Tut mir leid, aber zu Beginn steht die Aufgabe im Wortlaut. Und sie ist zugegebenermaßen nicht eindeutig. Kann ich nichts dafür....
Also wir kamen gestern zur Ansicht dass gemeint ist ohne Zurücklegen und NIX der Reihe nach in der richten Reihenfolge.

Dann komme ich zu folgenden ausstehenden Ergebnissen:

b)

N = \frac{1}{3}

= \frac{2}{6}

X = \frac{1}{4}

WHT

= \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{4} = 2,78 %

c) (1)

mit Zurücklegen

N = \frac{5}{13}

= \frac{4}{13}

X = \frac{4}{13}

WHT

= \frac{5}{13} \cdot \frac{4}{13} \cdot \frac{4}{13} = 3,64 %

c) (2)

ohne Zurücklegen

N = \frac{5}{13}

= \frac{4}{12}

X = \frac{4}{11}

WHT

= \frac{5}{13} \cdot \frac{4}{12} \cdot \frac{4}{11} = 4,66 %

Wäre zumindest mein Vorschlag...

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14:23 Uhr, 08.01.2025

b)

N = \frac{1}{3}

= \frac{2}{6}

X = \frac{1}{4}

WHT

= \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{4} = 2,78 %

c) (1)

mit Zurücklegen

N = \frac{5}{13}

= \frac{4}{13}

X = \frac{4}{13}

WHT

= \frac{5}{13} \cdot \frac{4}{13} \cdot \frac{4}{13} = 3,64 %

c) (2)

ohne Zurücklegen

N = \frac{5}{13}

= \frac{4}{12}

X = \frac{4}{11}

WHT

= \frac{5}{13} \cdot \frac{4}{12} \cdot \frac{4}{11} = 4,66 %

Wäre zumindest mein Vorschlag...

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14:28 Uhr, 08.01.2025

Also das wäre dann eine "bedingte Wahrscheinlichkeit" entlang des erfolgreichen Pfades im Baumdiagramm, denke ich.

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14:28 Uhr, 08.01.2025

Also das wäre dann eine "bedingte Wahrscheinlichkeit" entlang des erfolgreichen Pfades im Baumdiagramm, denke ich.

Roman-22

15:33 Uhr, 08.01.2025

Deine Ergebnisse zu

b), c) (1)

und

c) (2)

sind (bei Interpretation der Aufgabenstellung wie besprochen) richtig!

Der Begriff der bedingten WKT ist durchaus wesentlich in der WKTs-Rechnung und eng damit verbunden ist der Satz von Bayes. Ich bin mir aber nicht sicher, ob ihr diese Begriffe bereits im Unterricht behandelt habt. Falls nicht, kannst du vorerst auch ohne diesen Begriff gut (über)leben ;-)

KL700 aktiv_icon

16:33 Uhr, 08.01.2025

Ich verstehe es so:

a)

Man soll das Wort NIX in dieser Reihenfolge bilden können nach der Ziehung:

P (A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}

\cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{6} = 16,67 %

P (B) = \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30} = 3,33 %

P (C) = \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12} = 8,33 %

b) P = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{36} = 2,78 %

c)

N:6mal, I:4mal, X:4mal,

14

Kugeln

mit ZL:

P = \frac{6}{16} \cdot \frac{4}{14} \cdot \frac{4}{14} = 3,5 %

ohne ZL:

\frac{6}{16} \cdot \frac{4}{15} \cdot \frac{4}{14} = 2,86 %

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22:17 Uhr, 08.01.2025

Nochmal vielen Dank für die viele schnelle Hilfe! Sollte ich in Kürze die korrekten Ergebnisse bekommen, gibt es Rückmeldung von mir.

Vorsicht KL700: Bei Aufgabe

c)

sind es nur

5 N

insgesamt! Und

13

Kugeln insgesamt. Wo kommen denn die

16

her?

(A, B, C

sind die Namen der Urnen, keine Buchstaben)

Roman-22

22:42 Uhr, 08.01.2025

>

Vorsicht KL700
Ja, da ist Vorsicht geboten. Die "Lösungen" zu

c)

von KL700 sind mehrfach originell und leider falsch. Auch die angebotene Lösung für Urne

B

bei Aufgabe

a)

ist falsch.
Er hat offenbar im (Vor-)Recheneifer gar nicht bemerkt, dass die korrekten Lösungen für

a)

bereits lange am Tisch liegen und du die richtigen Lösungen für

b)

und

c)

auch schon längst selbst ermittelt hast.

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