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Wann folgt dass Rotation gleich Null?

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Vektorräume

Tags: Rotation, Vektoranalysis, Vektorraum

Betarest aktiv_icon

18:10 Uhr, 05.02.2019

Also, es geht um folgende Aufgabe:

Sei

f : ℝ \to ℝ

stetig differenzierbar. Berechnen Sie für alle x ∈

ℝ^{3}

\ {0}

r o t (f (∣ x ∣) x)

Dies hier ist die Lösung:

r o t (f (∣ x ∣) x) = \nabla \times (f (∣ x ∣) x) = \nabla (f (∣ x ∣) x \times x + f (∣ x ∣) r o t (x) = f ʹ (∣ x ∣) \frac{x}{∣ x ∣} + f (∣ x ∣) \cdot 0 = f ʹ (∣ x ∣) \frac{1}{∣ x ∣} (x \times x) = 0

Mir ist klar wie die Multiplikation

f (∣ x ∣) \cdot x

mit dem Nablaoperator und der Produktregel "abgeleitet" wird. Ich verstehe auch dass um

\nabla (f (∣ x ∣) x

zu berechnen f abgeleitet und dann noch die innere Ableitung (also von |x|) gezogen werden muss. Was mir hingegen nicht klar ist sind folgende Punkte:
- Warum ist rot(x)=0 ? Ist das immer wahr, dass die Rotation eines Vektors Null ergibt, und nur die eines Vektorfeldes ungleich Null ist?
- Warum wird auch der Term

f ʹ (∣ x ∣) \frac{1}{∣ x ∣} (x \times x)

zu Null?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

19:19 Uhr, 05.02.2019

Hallo,

- rot(x)=0 folgt einfach durch ausrechnen.
- Das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst ist

0,

nach Definition des Kreuzprodukts.

Gruß pwm

Betarest aktiv_icon

19:30 Uhr, 05.02.2019

>> rot(x)=0 folgt einfach durch ausrechnen
Also Rot(x) ist gleich

\nabla \times x

Wenn wir x im dreidimensionalen Raum gleich (x1,x2,x3) ist, dann folgt für

\nabla \times x

folgendes:

(\frac{d}{d x_{2}} x_{3} - \frac{d}{d x_{3}} x_{2}, \frac{d}{d x_{3}} x_{1} - \frac{d}{d x_{1}} x_{3}, \frac{d}{d x_{1}} x_{2} - \frac{d}{d x_{2}} x_{1})

Und das wird in der Tat (0,0,0), okay, das kann ich jetzt auch nachvollziehen.

>> Das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst ist 0, nach Definition des Kreuzprodukts
Okay, dann akzeptiere ist das mal einfach so als Definition.

Gibt es ähnliche Regeln für das Skalarprodukt, z.B. dass das Skalar mit sich selbst Null ergibt, oder vergleichbares für die Divergenz?

pwmeyer aktiv_icon

19:38 Uhr, 05.02.2019

Hallo,

Du solltest unbedingt die Definition von Kreuzprodukt und Skalarprodukt nachlesen. Das wird mehr als häufig benötigt.

Grß pwm

Betarest aktiv_icon

19:42 Uhr, 05.02.2019

Danke für den Hinweis. Die Definitionen des Kreuzprodukts und des Skalarprodukts kenne ich allerdings, zumindest in Drei Dimensionen (Kreuzprodukt gibt es glaube ich auch nur dort, nicht?). Habe ich ja auch bewiesen in meinem Beitrag von davor, wo ich

\nabla \times x

ausgerechnet habe wie du es mir empfohlen hast und (0-0, 0-0, 0-0) = (0, 0, 0) bei raus bekam.

Ich dachte nur dass es vielleicht noch ein paar einfache Zusammenhänge geben würde, wie z.B. div(x)=1 oder

x \cdot x = 0

oder ähnliches...?

ledum aktiv_icon

22:56 Uhr, 05.02.2019

Hallo
divx auszurechnen ist fast kürzer als es zu tippen dass

x \cdot x = {| x |}^{2}

ist solltest du auch wissen

x \cdot y = 0

wenn

x

orthogonal zu

y,

auch das sollte dir bekannt sein.
Gruß ledum

Betarest aktiv_icon

23:10 Uhr, 05.02.2019

Stimmt. Das mit dem Skalarprodukt weiß ich eigentlich. Was das mit dem div(x) angeht habe ich kurz überlegt, und ansich kommt da ja einfach die Anzahl an Dimensionen bei raus. Also für x=(x1,x2,x3) z.B div(x)=3. Hoffentlich hab ich da jetzt keinen Überlegungsfehler...

ledum aktiv_icon

00:07 Uhr, 06.02.2019

Hallo
nein richtig, kein Fehler.
Gruß ledum

godzilla12 aktiv_icon

01:25 Uhr, 06.02.2019

Ich glaube du hast eine äußerst missverständliche Notation; du meinst ( ofensichtlich in Kugelkoordinaten )

x = r \vec{e_{r}} (1)

Du wendest jetzt eine Produktregel an; sowas machtniemand freihändig. Schließlich gibt es den Ilja Bronstein und das Internet; in Wiki steht

de.wikipedia.org/wiki/Nabla-Operator

\nabla X Φ \vec{A} = Φ \nabla X \vec{A} - \vec{A} X \nabla Φ (2 a)

rot

(Φ \vec{A}) = Φ

rot

\vec{A} - \vec{A} X

grad

Φ (2 b)

Für dich ist jetzt

Φ (r; θ; φ) \equiv Φ (r); \vec{A} := \vec{e_{r}} (3 a)

rot

(Φ \vec{e_{r}}) = Φ

rot

\vec{e_{r}} (=

Term

1) - \vec{e_{r}} X

grad

Φ (=

Term

2) (3 b)

Hier so machen das normale Menschen; hier findest du alles, was das Hrz begehrt:

de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Physik:_Nabla-Operator

Eine Riesenjumbo Düsenrüseltrampeltabelle; siehst du ganz rechtsdie Kugelkoordinaten?

Jetzt schau dir mal Term 1 an. In der ( rechtshändigen ) Basis

\vec{e_{r; φ; θ}}

gilt doch die Darstellung

\vec{e_{r}} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) (4 a)

Diese ganze Tabelle lebt doch geradezu von der Bildung irgendwelcher Ableitungen; Nabla ist ein " Differenzialoperator " Nun ist aber der Vektor in

(4 a)

konstant

\to

Seine sämtlichen Ableitungen verschwinden. Bleibt uns nur noch Term 2 . In der Wikitabelle findest du analog

(4 a)

grad

Φ = (\begin{matrix} \frac{\partial Φ}{\partial r} \\ \frac{1}{r sin θ} \frac{\partial Φ}{\partial φ} \\ \frac{1}{r} \frac{\partial Φ}{\partial θ} \end{matrix}) = \frac{\partial Φ}{\partial r} \vec{e_{r}} (4 b)

Der Vorteil der Kugelkoordinaten ist ja gerade dieser wohlige Prickel, dass wir jeder Zeit

φ

und

θ

in der Tabelle finden, aber wegen der Kugelsymmetrie kürzt sich alles außer

r

weg.

(4 b)

einsetzen in

(3 b)

rot (

Φ \vec{e_{r}}) = - \frac{\partial Φ}{\partial r} \vec{e_{r}} X \vec{e_{r}} = 0 (5)

Jetzt brauchst du offenbar Nachhilfe in Kreuzprodukt. Das Kreuzprodukt

a X b

ist dem Betrag nach gleich der von beiden Vektoren aufgespannten Parallelogrammfläche

| a X b | = | a | | b | sin (a; b) (6 a)

Als Vektor steht es senkrecht auf der Fläche gemäß der Dreifingerregel der rechten Hand ( Brich dir aber nicht das Handgelenk )

Und aus

(6 a)

folgt eben

a X a = 0 (6 b)

(Kein Vektor schließt mit sich selbst eine Fläche ein. )

Hier du kennst doch sicher aus der Algebra das

\to

Kommutativgesetz; ist das Kreuzprodukt kommutativ?

(a + b) X (a + b) = 0 (

wegen

(6 b)) (6 c)

a X a + b X b + a X b + b X a = 0 (6 d)

a X b + b X a = 0 (6 e)

Das Kreuzprodukt ist ANTIkommutativ; es berücksichtigt, dass Figuren eine Orientierung, einen Drehsinn haben.
Ist ds Kreuzprodukt

\to

assoziativ? Nein; statt dessen erfüllt es die sog. Jacobi-Identität

a X (b X c) + b X (c X a) + c X (a X b) = 0 (7)

\to

Distributiv sind alle Ringe bzw. Algebren; aus dem Distributivgesetz folgen

z . B

. so wichtige Erkenntnisse wie " Minus Mal Minus = Plus " Ansonsten bist du ziemlich frei in der Wahl deiner Axiome.
Wenn

z . B

(6 b; 7)

gelten sollen, spricht man von einer

\to

Lie_Algebra nach Sophus Lie. Überlege dir, dass es in einer Lie_Algebra niemals ein Einselement geben kann.
Prominentestes Beispuiel für eine Liealgebra ist der

\to

Kommutator aus zwei

\to

Matrizen.
Skalarprodkt solltest du eigentlich drauf haben.

< a | b > := | a | | b | cos (a; b) (8 a)

Es verschwindet

\Leftrightarrow a

und

b

stehen senkrecht aufeinander. Und um deine Frage noch zu beantworten

< a | a > = | a |

² = Betragsquadrat eines Vektors

(8 b)

" Der einzige Vektor, der auf sich selber senkrecht steht, ist der Nullvektor; man sagt, das Skalarprodukt ist positiv definit. "
" Der einzige Vektor, der auf dem ganze Raum senkrecht steht, st der Nullvektor; man sagt, das Skalarprodukt ist nicht ausgeartet. "

godzilla12 aktiv_icon

01:53 Uhr, 06.02.2019

Betarest du stellst sehr kluge Fragen. Das Skalarprodukt lässt sich " straightforward " verallgemeinern auf den

ℝ^{4711}

und sogar Funktionenräime mit unendlich vielen Dimensionen.
Strecken_und Winkelmessung sind nur definiert, wenn du in das " Betriebssystem " deines Vektorraums das Modul " Skalaeprodukt " dazu lädtst.
Dagegen das kreuzprodukt ist eine rechte Mogelpackung; das hast du richtig erkannt. Nicht assoziativ zu sein, ist seine größte Schwäche.
Dagegen das

\to

Tensorprodukt IST assoziativ; ein Tensor der Stufe

4000

Mal einem Tensor der Stufe

711

gibt immer einen Tensor

4711

. Stufe.
Statt das Kreuzhprodukt zu verallgemeinern, musst du die ( assoziative

) \to

Grassmannalgebra einführen; siehe Kowalsky, siehe Greub.
Das Kreuzprodukt krankt entschjieden daran, dass " Vektor Mal Vektor " wider Vektor ergibt.
ie kann es sein, dss eine Fläche durch einen Vektor dargestellt wird? Vektoren riechen doch verdächtig nach Superposition

. .

.
Schon die alten Griechen wussten: Die Fläche eines n_Ecks lässt sich berechnen, indem du es in Dreiecke zerlegst.
Es gibr aber nicht immer einen

\to

inneren ( zentralen ) Punkt im Sinne der

\to

Topologie, von dem aus du diese Zerlegung durchfühen könntest, worauf mich mein Chef aufmerksam machte
( Nixhr jedes n_Eck ist

\to

konvex. )
Auf die Lösung kam ich über das 2. Keplersche Gesetz.
Jetzt nimm dir mal einen Zentralpunkt

O

her im Andromedanebel.
Und zu den Ecken

A, B, C, . .

. , der Figur ziehst du vo

n O

aus Strahlen. Diese teilen doch Dreiecke ab

OAB; OBC; OCD;

. .

(2.1)

Wohl gemerkt: Schon rein von der Orientierung her sind die Dreiecke

(2.1)

KEINE Teilmengen des n_Ecks; es handelt sichj ja um intergalaktische Dreiecke.
Und jetzt kmmt die magische Superposition; die Flächen aller Dreiecke, vktoriell nach Betrag und Richtung als kreuzprodukt genommen, addieren sich zu einer Resultierenden, die auf der Figur senkrecht steht und vom Betrag her gleich ihrem Flächeninhalt ist

. .

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