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Wann sind Gerade & Ebene parallel, wann senkrecht?

Schüler Abendgymnasium,

Tags: Lagebeziehung

Frika aktiv_icon

07:38 Uhr, 16.10.2015

Verehrte Mathematiker,

In verschiedenen Quellen habe ich gelesen
- Gerade und Ebene sind zueinander parallel wenn das Skalarprodukt aus Richtungsvektor und der Normalenvektor 0 ist.

So weit so klar.

Nun aber heißt es auch:
-Eine Gerade steht auf einer Ebene senkrecht, wenn ihr Richtungsvektor parallel zum Normalvektor der Ebene liegt:

Ist das nicht irgendwie dasselbe wie oben?

Ich bitte um Klärung, vielen Dank.
Gruß
Franziska

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Ebene - Ebene
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lagebeziehung Gerade - Gerade

Stephan4

08:09 Uhr, 16.10.2015

Ist nicht das selbe.

Im zweiten Fall ist der eine Vektor ein Vielfaches vom anderen, und zwar in allen drei Dimensionen.

Beispiel:
Richtungsvektor der Geraden:

(\begin{matrix} 2 \\ - 6 \\ 10 \end{matrix})

Folgende Normalvektoren von Ebenen:

(\begin{matrix} 20 \\ - 60 \\ 100 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ - 3 \\ 5 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 2 \\ 6 \\ - 10 \end{matrix})

Dieser Ebenennormalvektor nicht:

(\begin{matrix} 20 \\ - 60 \\ 99 \end{matrix}),

weil er in

x

und

y

das 10-fache ist, in

z

aber nicht.

:-)

DrBoogie aktiv_icon

08:16 Uhr, 16.10.2015

"Ist das nicht irgendwie dasselbe wie oben?"

Nein.
Zwei Vektoren

u

und

v

sind senkrecht <=>

< u, v > = 0

.
Zwei Vektoren sind kollinear (parallel oder anti-parallel) <=>

< u, v > = \pm ∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣

, was nicht Null ist, wenn beide Vektoren nicht Null.

Ein Beispiel. Die Gerade

\vec{r} = t (1, 1, 0)

steht auf der Ebene

2 x + 2 y = 3

(Normalenvektor

(2, 2, 0)

) senkrecht, ist aber zur Ebene

x - y + z = 1

(Normalenvektor

(1, - 1, 1)

) parallel.

Frika aktiv_icon

09:23 Uhr, 16.10.2015

Tausend Dank für eure Antworten.
Ich wußte, hier werde ich geholfen. :-)
Euch beiden ein schönes Wochenende.

Frika aktiv_icon

02:51 Uhr, 11.04.2016

Ich muß diese Frage leider nochmal hochholen...

Wie prüfe ich denn nun, ob eine Gerade parallel

(!)

zu einer Ebene steht?

Ich habe hier eine Aufgabe:
Gegeben ist eine Geradenschar (mit Parameter

a)

und eine Ebene.
Gesucht ist der Wert von

a,

der die Gerade parallel

(!)

zu einer Ebene stehen läßt.

Geradengleichung:

(1 | 0 | - 1) + r \cdot (2 - a | a | 3)

Ebenengleichung:

4 x 1 - x 2 + 4 x 3 - 1 = 0

In der Lösung steht, man solle prüfen, ob das Skalarprodukt vom Geraden-Richtungsvektor und vom Ebenen-Normalenvektor orthogonal zueinander sind.
Aber genau damit prüft man doch Orthogonalität und nicht Parallelität?!?

Verwirrte Grüße
Franziska

Stephan4

07:08 Uhr, 11.04.2016

Ein anschauliches Beispiel:
Auf einem Leuchtturm befindet sich ein schwenkbarer Scheinwerfer, mit dem man in jede Richtungen leuchten kann, hinauf, hinunter, aber auch gerade aus.

Wohin muss man nun den Scheinwerfer richten, dass der Strahl parallel zum Meeresspiegel leuchtet?

Gerade aus, egal in welche Richtung. Hauptsache, der Strahl ist im rechten Winkel zum Turm.

Die Analogie zu Deinem Beispiel:
Die Ebene ist der der Meeresspiegel. Sein Normalvektor ist der Leuchtturm. Der Lichtstrahl ist die gesuchte Gerade.

Das Skalarprodukt des Turmvektors mit dem Richtungsvektor des Lichtstrahls ist Null, wenn dieser geradeaus zeigt. Dann ist er parallel zum Meeresspiegel.

:-)

Frika aktiv_icon

11:34 Uhr, 15.04.2016

Vielen herzlichen Dank!

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