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Warum ist d = 2 * r ? [Flächenbeweis mit Kreis]

Universität / Fachhochschule

Tags: Geometrie, theorie

EagleEye aktiv_icon

13:13 Uhr, 11.02.2025

Hallo Leute von heute ;-)

Ich beschäftige mich ein bisschen.
Mit der Quadratur des Kreises zum Beispiel.
Das ist doch noch keine Riemannsche Vermutung, oder? ;-)

Behauptungen:

A)

"Der Durchmesser ist das Doppelte vom Radius"

B)

"Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius

r

ist das Viertel der Fläche eines Kreissegements mit doppelten Radius r"

Satz:

\frac{A}{4}

(grauer Kreis = Kreissegment pro Quadrant)

= A

gesamt (grüner Kreis)

Beweis:

- Definitionen -

r = \frac{d}{2}

d = 2 \cdot r

A = π \cdot r^{2}

A = π \cdot \frac{d^{2}}{4}

- Bedingungen -

r

(grüner Kreis)

= 2 \cdot r

(grauer Kreis)

. .

r

(grüner Kreis)

= 2 \cdot 2 \cdot r (= d

vom grauen Kreis)

...

.

Simpler Beweis für Behauptung

B)

über den Flächeninhalt in der Ebene

r

(grüner Kreis)

= \frac{1}{4} \cdot d

(grauer Kreis)

A (grüner Kreis)

= π \cdot r^{2}

A (grauer Kreis)

= π \cdot \frac{d^{2}}{4}

\frac{A}{4}

(grauer Kreis)

= A

gesamt (grüner Kreis)

... .

.
Fläche grauer Kreis

/ 4 = A

gesamt grüner Kreis | wobei

d

(grauer Kreis)

= 4 \cdot

r(grüner Kreis) sei.

Formelform:

\frac{π \cdot d^{2}}{4 \cdot 4} = π \cdot r^{2} | r = \frac{d}{4}

\frac{π \cdot d^{2}}{16} = π \cdot

[

d/4]² | :-P)i

\frac{d^{2}}{16} = \frac{d^{2}}{16} |

Wurzel ziehen auf beiden Seiten und

d = d

Vielleicht ist es nicht perfekt bewiesen, aber der Durchmesser bleibt eben der Durchmesser, sowahr ich kein studierter Mathematiker bin.

Über das Kreissegment

\frac{A}{4}

vom grauen Kreis bin ich halt beim Zeichnen gestolpert, und es scheint so sehr, dass die Fläche A vom grünen Kreis den selben Flächeninhalt vom Kreissegement

\frac{A}{4}

vom grauen Kreis hat!

Also wenn das keine Quadratur ist, weiß ich es eben auch nicht.

Guten Tag und guten Morgen BRD!

-Grüße vom Adlerauge-

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

13:23 Uhr, 11.02.2025

> B) "Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius

r

ist das Viertel der Fläche eines Kreissegements mit doppelten Radius

r

"

Wie bitte? Richtig ist

"Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius

r

ist gleich ein Viertel der Fläche eines Kreises mit doppelten Radius r"

Entweder sprich von einem Viertel der Fläche des großen Kreises oder aber von der Fläche eines Kreissektors zum Winkel

9 0^{\circ}

dieses großen Kreises, meinetwegen auch kurz als "Viertelkreis" bezeichnet.

Beides zusammen in einer Formulierung vermengt ergibt aber

\frac{1}{16}

der Fläche des großen Kreises bzw.

\frac{1}{4}

der Fläche des Originalkreises.

EagleEye aktiv_icon

13:41 Uhr, 11.02.2025

Hallo, danke sehr, ja vielleicht war das Problem nicht perfekt formuliert.

Es ist wie Sie es schreiben, so soll es sein:

Die Gesamtfläche vom grünen Kreis ist das Viertel von der Gesamtfläche des grauen Kreises, wie dargestellt als Kreissegment.

- Beweis -

wenn

d

(grau)

= r \cdot 4

(grün) ist;
dann mit

A = π \cdot r^{2}

und

A = π \cdot \frac{d^{2}}{2}

Agrau/4 = Agrüngesamt

π

*(dgrau/2)^2/(4)

= π \cdot

(rgrün)^2

| : π

dgrau^2/(4*4) = rgrün

^2

dgrau^2/

16 =

rgrün^2 | Wurzel ziehen

d

grau

/ 4 = r

grün

Okay?

EagleEye aktiv_icon

13:47 Uhr, 11.02.2025

Funfact:

Die Quadratur eines Quadrats verhält sich genauso!

Ein Quadrat mit der Seitenlänge

c

hat die Fläche c²

Verdoppelt man

c

auf

c 2 = 2 \cdot c

ergibt das ein Quadrat mit der Fläche

A =

4c²

Und was teilt ein Quadrat gerechter auf als eine Diagonale?

Sicher nur ein regelmäßiges Dreieck ;-)

HAL9000

13:49 Uhr, 11.02.2025

Tut mir leid, wenn ich dich nerve, aber du solltest nicht beständig falsche Begriffe verwenden:

de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment und de.wikipedia.org/wiki/Kreissektor sind verschiedene geometrische Objekte - und deinen Skizzen nach zu urteilen meinst du nun mal Kreissektor.

EagleEye aktiv_icon

13:57 Uhr, 11.02.2025

Ja okay!

Gemäß der Abbildung .jpg ist ein Kreissektor mit dem viertel der Fläche eines Kreises gemeint.

Und 360°

/ 4

ergibt

90

°
90° ist rechter Winkel

Deswegen verbrenn ich mir noch doch nicht die Finger !

calc007

14:00 Uhr, 11.02.2025

1 .)

Wie HAL dir schon sehr trefflich nahezulegen suchte, sollte man doch bitte nicht von einem "Kreissegment" sprechen, wenn du einen Viertelkreis meinst, bzw. noch trefflicher von HAL definiert:
Kreissektor zur Winkel 90°
Denn:
Der Begriff "Segment" gibt's nun mal schon und bezeichnet in der Geometrie grundsätzlich was anderes.

Wollen wir uns nach dieser zweiten Aufforderung auf "Viertelkreis" einigen?

2 .)

Würde ich wertschätzen, wenn du genauer verständlich machen würdest, was du jeweils beweisen willst.
Du sprachst eingangs von zwei Behauptungen:

A)

Der Durchmesser ist das Doppelte vom Radius.

B)

Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius

r

ist das Viertel der Fläche eines Kreissegements mit doppelten Radius.
In meiner (korrigierten) Fassung:
Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius

r

ist das Viertel der Fläche eines Viertelkreises mit doppeltem Radius

R = (2 \cdot r)

3 .)

Falls du wirklich die Behauptung A beweisen willst:
Dazu müssen wir die Definition eines Kreises heran holen.
Ein Kreis (-Rand) ist definitorisch der Ort aller Punkte, die von einem Mittelpunkt aus den gleichen Abstand haben.
Wenn du das mal etwas geschickter in deine Skizze einträgst, dann kannst du

>

von deinem Mittelpunkt "O" aus einen Radius

r

nach rechts einzeichnen,

>

von deinem Mittelpunkt "O" aus einen Radius

r

nach links einzeichnen,

>

dir klar machen, dass wenn so geschickt gemacht, alles auf einer Gerade liegt,

>

und seit Anbeginn einer Zählweise eben stets gegolten hat:

2 = 1 + 1

EagleEye aktiv_icon

14:12 Uhr, 11.02.2025

Hi.

Okay!

1)

Viertelkreis ist dein Kuchenstück an Formulierung!

2)

Formulierung

B)

passt.

3)

Es gibt keine doofen Fragen!
Es gibt einfach Dinge, die sind eben Tatsachen.
Deswegen werden wir das Rad wohl nicht neu erfinden.

Danke für die ausführliche Wiederholung zum Kreis.
Ich drehe durch?
Ich dreh mich im Kreis?

EagleEye aktiv_icon

14:37 Uhr, 11.02.2025

Punkt .
Kreis

O

Linie

- - - - - - -

Rechteck / Quadrat

Im Wort Quadratur steckt das Wort Quadrat drin.
Ein Quadrat ist immer durch eine Fläche gekennzeichnet, egal ob cm², m², km²

Aber auch ein Kreis und ein Dreieck haben einen Inhalt an Fläche.

- -

- - -

- - - -

Es sei ein Dreieck mit der Seitenkante a und

b,

die keine Hypothenuse sind.

Dann ist die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks davon:

A = a \cdot \frac{b}{2}

Quadratur diesen Dreiecks:

A²

= \frac{a^{2} \cdot b^{2}}{2^{2}}

. .

.
das ergibt noch keinen Sinn bei einem rechtwinkligem Dreieck!

Schöner:
Das gleichseitige Dreieck mit

A =

a^2/4*Wurzel(3) zum Quadrat ergibt

A²

= \frac{a}{16} \cdot 3

A²

= a \cdot \frac{3}{16}

Und was ist eine Fläche

(A

[

cm^2] )² zum Quadrat?
Von den Einheiten her Volumen

\cdot

Strecke wäre möglich: cm^4;

m^{4},

usw.

. .

.

ist das schon das Flächenträgheitsmoment?!
de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4chentr%C3%A4gheitsmoment

EagleEye aktiv_icon

14:43 Uhr, 11.02.2025

Es sei A²

= A \cdot A

nach Rechenvorschrift

. .

.

Da eine Fläche A auch eine Ebene sein kann -

würde das bedeuten; möglicherweise:

Ebene XY

\cdot

Ebene YZ

die gemeinsam einen Raum ergeben müssten, aber es kommt nun auf den Winkel der Ebenen untereinander an.

Und ein leerer Raum ist zum Beispiel ein Raum ohne Bücher, Harmonie oder Schwingungen.

Erst in einem Raum können sich Objekte, ja auch Massen oder soetwas wie Menschen bewegen!

HJKweseleit aktiv_icon

23:09 Uhr, 11.02.2025

Deine gesamten Berechnungen, die ich mir aber nur flüchtig angeschaut habe, haben mit der "Quadratur des Kreises" gar nichts zu tun.

Darunter versteht man folgende Aufgabe:

Vorgegeben ist ein Kreis. Mit Hilfe nur von Zirkel und Lineal (ohne Skala) soll man ein QUADRAT konstruieren, dass den selben Flächeninhalt wie der Kreis hat.

Im Bild siehst du einen Kreis. Wenn du von einer Ecke des Durchmessers eine gerade Linie mit einem Winkel

α

= 27,59711264...° zum Durchmesser bis zum Kreisrand ziehst, ist das die Kante eines Quadrates, das den selben Flächeninhalt wie der Kreis hat.

Problem: Diesen Winkel kann niemand mit Zirkel und Lineal konstruieren.

Dein Viertelkreis, der den selben Flächeninhalt wie ein anderer vorgegebener Kreis, ist eben kein Quadrat, sondern nur ein Viertelkreis und damit nicht die Lösung des Problems.

Roman-22

02:10 Uhr, 12.02.2025

EagleEye aktiv_icon

04:44 Uhr, 12.02.2025

gesucht:

Relation von Durchmesser

d

des Kreises und Seitenlänge

c

eines Quadrates, wenn Kreis und Quadrat den gleichen Flächeninhalt haben sollen.

A (Kreis)

= A

(Quadrat)

(Ak

=) π \cdot \frac{d^{2}}{4} = c^{2} (=

Aq) | Wurzel ziehen

Wurzel

(π) \cdot \frac{d}{2} = c

d \cdot

Wurzel

(π) = 2 \cdot c

Wurzel

(π) = \frac{2 \cdot c}{d}

π

entsprechen

180

° -
Wurzel

π =

Wurzel

π = 1,7725

(Zahlenwert)

d \cdot

Wurzel(pi)

= 2 \cdot c

d = (2 \cdot c)

/(Wurzel

(π))

d = \frac{2}{1,7725} \cdot c

also ist official:

d = 1,128 \cdot c

\to \frac{d}{c} = 1,128

auch möglich:

d^{2} \cdot π = 4 \cdot c^{2}

ohne rationale Abkürzungen, wahrscheinlich genauer, aber da beginnt alles wieder von vorn.

Aufmerksamkeit?

Für mich stelle ich nur fest: was soll jetzt dieser Kreis mit diesem Quadrat zu tun haben?

bei

c^{2} = d^{2}

passt der Kreis genau in ein Quadrat mit Seitenlänge

d = c

gefunden:
bei

{(c^{2})}^{2} = c^{4}

wird aus dem ursprünglichem Quadrat ein Viertel der Gesamtfläche des Quadrates

{(2 c)}^{2} = 4 c^{2}

ledum aktiv_icon

16:24 Uhr, 12.02.2025

Hallo
Dir wurde gesagt, was man in Mathematik seit den alten Griechen unter "Quadratur des Kreises" versteht! Was soll dein neuer post es ist dir doch wohl bekannt dass pi keine rationale Zahl ist deine Wurzel aus pi damit auch nur ein Näherungswert.
Sag bei deinen posts bitte was du eigentlich zeigen willst, denn so sind das einfache Umformungen und grobe Abschätzungen.
ledum

HJKweseleit aktiv_icon

00:12 Uhr, 13.02.2025

Für mich stelle ich nur fest: was soll jetzt dieser Kreis mit diesem Quadrat zu tun haben?

bei c2=d2 passt der Kreis genau in ein Quadrat mit Seitenlänge d=c

Ja, aber der Kreis soll nicht in das Quadrat eingepasst werden, sondern den selben Flächeninhalt wie das (gesuchte) Quadrat haben (s.Bild). Und es kommt nicht darauf an, die Quadratseite zu berechnen, wie du das richtig getan hast, sondern ein Verfahren anzugeben, wie man mit Hilfe von Zirkel und Lineal die Quadratseite konstruieren kann.

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