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Warum stochastisch abhängig?

Schüler

Tags: stochastische Unabhängigkeit

Joshua2 aktiv_icon

14:59 Uhr, 09.11.2024

Warum sind die Ereignisse A und B voneinander abhängig, wenn in der Menge A mehr Ereignisse mit gerader Augensumme als mit ungerader Augensumme vorkommen?

-------------------------------
Aufgabenstellung: „Ein Dodekaeder-Würfel mit 12 Zahlen wird zwei mal geworfen. Sind die Ereignisse A: „Augensumme höchstens 4“ und B: „die Augensumme ist ungerade“ voneinander unabhängig?

„A von B sind voneinander ………………. Dies liegt daran, dass in der Menge A mehr Ereignisse mit …...………. als mit …..…… Summe vorkommen.“
------------------------

Mein Ergebnis: A von B sind voneinander stochastisch abhängig da

P (A) * P (B) \neq P (A \cap B)

Aber warum sollen die Ereignisse A und B voneinander abhängig sein, wenn in der Menge A mehr Ereignisse mit gerader Augensumme als mit ungerader Augensumme vorkommen?

-----

Rechnung:

A = {(1;1);(1;2);(2;1);(2;2);(1;3);(3;1)} also 6 Möglichkeiten
P für eine Kombination z.B. (1;1) = 1/12 * 1/12 = 1/144 (Eine von 144 Kombinations-Möglichkeiten)
P(A) = 6 *1/12 * 1/12 = ½ * 1/12 = 1/24

P(B) = Wahrscheinlichkeit für Kombination mit ungerader Augenzahl
(6*6 + 6*6) / (12*12) = ½

A ∩ B = {(1;2);(2;1)}
P(A ∩ B) = 1/72

Da

P (A) * P (B) \neq P (A \cap B)

sind die Ereignisse A und B voneinander stochastisch abhängig

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stochastische Unabhängigkeit

Roman-22

17:36 Uhr, 09.11.2024

>

Warum sind die Ereignisse A und

B

voneinander abhängig, wenn in der Menge A mehr Ereignisse mit gerader Augensumme als mit ungerader Augensumme vorkommen?

Du kannst ja wegen

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B | A)

auch sagen, dass die Ereignisse A und

B

dann abhängig sind, wenn

P (B) \neq P (B | A)

.

Jetzt ist aber, wie du ja schreibst,

P (B) = 0,5,

aber

P (B | A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \neq \frac{1}{2},

weil von den 6 Paaren in A eben 4 eine gerade (aber nur 2 eine ungerade) Augensumme haben.

Anders gesagt, wenn du über die beiden Augenzahlen nichts weißt und du sollst auf gerade oder ungerade Summe wetten, dann ist die Chance

50 : 50

.
Wenn man dir aber verrät, dass die Augensumme höchsten 4 beträgt, wärst du gut beraten, auf eine gerade Augensumme zu wetten.

KL700 aktiv_icon

17:38 Uhr, 09.11.2024

Ich sehe keinen Fehler.

calc007

17:50 Uhr, 09.11.2024

Hallo
Wenn ich ergänzen darf:
"Abhängigkeit" ist formal dieses

. .

. 'die Wahrscheinlichkeit des einen ist anders als die Wahrscheinlichkeit des anderen'.
Aber ich hoffe es hilft, dir auch vor Augen zu führen, dass das auch ganz alltäglich verstanden werden kann.
Ich sag dann immer:

17,23456 %

aller Autos sind rot.
Das Auto meines Nachbarn ist rot.
Ändert das was an den Wahrscheinlichkeiten des Dodekaeders?

Ich denke, du wirst nicht lange nachdenken müssen, dass eben die Autofarbe meines Nachbarn reichlich überhaupt nichts an den Würfelwahrscheinlichkeiten eines Dodekaeders ändert.
in formalen Worten:
Die Autofarbe meines Nachbarn ist
UNABHÄNGIG
von Würfelausgang des Dodekaeders.

Vielleicht hilft so, besser zu verstehen, wie mit derartigen Aufgabenstellungen umgegangen werden kann.
Mach dir einfach klar:

>

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von

A,

nämlich:
Die Augensumme ist höchstens 4.
?

>

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von

B,

nämlich:
Die Augensumme ist ungerade.
?

>

Angenommen, ich würfle verdeckt, und verrate dir aber nur:
A ist erfüllt,

d . h

. die Augensumme ist höchstens 4.
Ändert das nun etwas daran, die Wahrscheinlichkeit für

B

einzuschätzen?
Wenn ja, dann sind die Ereignisse A und

B

abhängig.
Wenn nein, dann sind die Ereignisse A und

B

unabhängig.

PS: Ich vermute, wir alle gehen davon aus, dass die zwölf Flächen des Dodekaeders mit den Zahlen

1 - 12

beschriftet sind (auch wenn's nicht so eindeutig aus dem Text hervor geht).

HAL9000

18:47 Uhr, 09.11.2024

> Aber warum sollen die Ereignisse A und B voneinander abhängig sein, wenn in der Menge A mehr Ereignisse mit gerader Augensumme als mit ungerader Augensumme vorkommen?

Diese deine Nachfrage stellt die Definition der Unabhängigkeit in Frage - denn wenn man diese Definition akzeptiert, ist diese Nachfrage im Nachgang (!) der Rechnung nämlich ziemlich sinnfrei.

Unabhängigkeit (bzw. deren Gegenteil Abhängigkeit) ist manchmal, aber nicht immer direkt aus der inhaltlichen Beschreibung der Ereignisse folgerbar - manchmal ergibt sich das erst aus der Rechnung:

Beispiel 1: Die Ereignisse

A

... Augenzahl erster Wurf gerade

B

... Augenzahl zweiter Wurf gerade

C

... Augenzahl dritter Wurf ungerade

sind offenkundig unabhängig, ohne dass man groß rechnen muss: Man geht ja davon aus, dass sich die drei Würfe nicht gegenseitig beeinflussen.

Beispiel 2: Die Ereignisse

A

... Augensumme erster und zweiter Wurf gerade

B

... Augensumme zweiter und dritter Wurf gerade

C

... Augensumme erster und dritter Wurf ungerade

sind ebenfalls paarweise unabhängig, weil die jeweiligen drei Rechnungen

\frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}

das eben so ergeben. Rein inhaltlich ist das den Ereignissen nicht unmittelbar anzusehen, da jeweils immer ein gemeinsamer Wurf in beide Ereignisse involviert ist und man damit eine Abhängkeit nicht unmittelbar ausschließen kann! Hier wird das auch dadurch deutlich, dass alle drei Ereignisse

A, B, C

nicht unabhängig sind infolge

P (A \cap B \cap C) = 0 \neq \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}

Joshua2 aktiv_icon

10:15 Uhr, 10.11.2024

> Diese deine Nachfrage stellt die Definition der Unabhängigkeit in Frage - denn wenn
> man diese Definition akzeptiert, ist diese Nachfrage im Nachgang (!) der Rechnung
> nämlich ziemlich sinnfrei.

Erst rechnen dann erklären, war von der Aufgabenstellung so vorgegeben. Da dachte ich mir, das derjenige, der die Aufgaben erstellt hat, sich dabei was gedacht hat.

Joshua2 aktiv_icon

11:11 Uhr, 10.11.2024

>Ich sag dann immer:
>17,23456% aller Autos sind rot.
>Das Auto meines Nachbarn ist rot.
>Ändert das was an den Wahrscheinlichkeiten des Dodekaeders?
>Ich denke, du wirst nicht lange nachdenken müssen, dass eben die Autofarbe meines Nachbarn
> reichlich überhaupt nichts an den Würfelwahrscheinlichkeiten eines Dodekaeders ändert.

Statistiken geben den Anteil der Linkshänder in der Bevölkerung mit 10 bis 15 Prozent an.

a) In einer Jahrgangsstufe sind insgesamt 121 Schülerinnen (Sw) und Schüler. 6 der Schülerinnen sind Linkshänderinnen

(9, 09 % b z w . 1 / 11)

. 50 von 55 Schülern sind Rechtshänder.
Die Ereignisse „Linkshänder“ und „Schüler“ sind voneinander UNABHÄNGIG , da
P(L) * P(Sw) = P(L ∩ Sw) usw.

b) In einer Jahrgangsstufe sind

10 %

aller Schüler und

10 %

aller Schülerinnen Linkshändler. Insgesamt hat die Jahrgangsstufe 115 Schülerinnen und Schüler. 6 der Schülerinnen sind Linkshänderinnen. 50 von 55 Schülern sind Rechtshänder.
Die Ereignisse „Linkshänder“ und „Schüler“ sind voneinander ABHÄNGIG, da
P(L) * P(Sw) ≠ P(L ∩ Sw) usw.

c) In einer Jahrgangsstufe sind

10 %

aller Schüler und

15 %

aller Schülerinnen Linkshändler. Insgesamt hat die Jahrgangsstufe 115 Schülerinnen und Schüler. 9 der Schülerinnen sind Linkshänderinnen. 50 von 55 Schülern sind Rechtshänder.
Die Ereignisse „Linkshänder“ und „Schüler“ sind voneinander ABHÄNGIG, da
P(L) * P(Sw) ≠ P(L ∩ Sw) usw.

Aber klar sollte es sein, wenn man einmal Kugeln mit zurücklegen und einmal ohne zurücklegen aus einer Urne zieht.

HAL9000

13:24 Uhr, 10.11.2024

Die Wahrscheinlichkeiten durch ihre Schätzungen "relative Häufigkeiten" zu ersetzen, und damit dann die Unabhängigkeit gemäß der Produktformel zu prüfen kann man eigentlich nur als unseriös bezeichnen: Da wird man in den seltensten Fällen auf Unabhängigkeit kommen - Beispiel:

Ein Würfelwurf und zugeordnet die Ereigsse

A

... Augenzahl ist ungerade

B

... Augenzahl ist kleiner als 3

Dann sind

A, B

unabhängig. Führt man aber eine Versuchsreihe von

n = 1000

Versuchen durch und erzielt beispielsweise die Anzahlen 166,167,167,166,167,167 für die Augenzahlen 1..6 (was schon unglaubwürdig extrem nahe an der theoretischen Verteilung liegt). Dann ergibt sich für die relativen Häufigkeiten

h_{n} (A) = 0.5, h_{n} (B) = 0.333, h_{n} (A \cap B) = 0.166

, also

h_{n} (A \cap B) = 0.166 \neq 0.1665 = h_{n} (A) \cdot h_{n} (B)

.

Aber würdest du deswegen sagen, die Ereignisse A,B sind auf Basis dieser Daten abhängig???

Nein, für solche Stichproben wendet man dann besser einen Unabhängigkeitstest durch, in seiner einfachsten Form den

de.wikipedia.org/wiki/Chi-Quadrat-Test#Vierfeldertest

Joshua2 aktiv_icon

12:54 Uhr, 13.11.2024

Ich hab' das jetzt auch noch mal verallgemeinert und komme auf:

Unabhängigkeit:

P (A) \cdot P (B) =

P(A∩B)

\Leftrightarrow

A/A’ = (A∩B)/(A’∩B)

Rechnung:

P (A) = \frac{a}{z}

P (B) = \frac{b}{z}

z =

Gesamtzahl
P(A∩B) = (A∩B)/z

= \frac{c}{z}

P(A’∩B) = (A’∩B)/z

= \frac{d}{z}

Bedingung für Unabhängigkeit von A und

B : P (A) \cdot P (B) =

P(A∩B)

P (A) \cdot P (B) =

P(A∩B)

\frac{a}{z} \cdot \frac{b}{z} =

(A∩B)/z
(a*b)/z²

= \frac{c}{z}

mit (A∩B)

= c

\frac{a \cdot b}{z} = c

\frac{a \cdot (c + d)}{z} = c

mit

b = (c + d)

und

d =

(A’ ∩

B)

(ac+ad)/z

= c

ac/z+ad/z

= c

ad/z

= c

– ac/z

d =

zc/a –

c

d =

zc/a – ac/a

d = c (\frac{z}{a}

–

\frac{a}{a})

d = c \cdot \frac{z - a}{a}

d = c

*a’/a mit

(z - a) =

a’

\frac{d}{c} =

a’/a

\Leftrightarrow

(A’∩B) / (A∩B) = A’/A

\Leftrightarrow

A/A’ = (A∩B)/(A’∩B)

Für eine Unabhängigkeit der Eigenschaften „A“ und „B“ muss das
Verhältnis von A zu A’ dem Verhältnis von (A∩B) zu (A’∩B) entsprechen.

Tatsächlich dürfte die Eigenschaft "Schülerinnen" und Linkshändlerinnen" unabhängig sein, da die Eigenschaft „Linkshändler*in“ unabhängig von Geschlecht sein sollte. Etwa

10 %

bis

15 %

aller Frauen und Männer sind Linkshändler. Aber es ist schon sehr zufällig, wenn in der Realität, wie in der Aufgabe herauskommt, mittels der Bedingung P(A)⋅P(B)= P(A∩B), dass die Eigenschaft "Schülerin" und Linkshändlerin" unabhängig ist. Es ist sehr viel wahrscheinlicher, dass mittels dieser Prüfung unkorrekterweise eine Abhängigkeit festgestellt wird.

Denn: Es ist nicht genau bekannt, wie viele Schülerinnen statistisch Linkshänderinnen sind (ca.

10 %

bis

15 %)

. Selbst wenn dies genau bekannt wäre, und der Anteil

z . B

12,5 %

betrüge, heißt das ja noch lange nicht dass dann in einer Jahrgangsstufe genau

12,5 %

aller Schülerinnen Linkshändlerinnen wären. Man können nur die Wahrscheinlichkeit angeben mit der innerhalb einer Spanne mit Linkshänderinnen zu rechnen wäre (Normalverteilung vorausgesetzt). Hinzu kommt, dass es ja keine nicht ganzzahligen Linkshändlerinnen geben kann. Mittels

P (A) \cdot P (B) =

P(A∩B) zu auf Grundlage von rund

100

Schüler*innen zu ermitteln, ob die Eigenschaft "Schülerin" und Linkshändlerin" unabhängig ist, halte ich daher für unmöglich.

A =

Schülerinnen (Sw); A’ = Schüler (Sm); (A∩B) = Linkshändlerinnen (Lw); (A’∩B) = Linkshändler (Lm)

Sw / Sm = Lw / Lm

Schülerinnen (Sw) / Schüler (Sm) = Linkshändlerinnen (Lw) / Linkshändler (Lm)

Für eine Unabhängigkeit der Eigenschaften „Schülerin“ und „Linkshänderin“ muss das Verhältnis von Linkshändlern (Lm) zu Linkshändlerinnen (Lw) dem Verhältnis von Schülern (Sm) zu Schülerinnen (Sw) entsprechen.

a)

Gibt es

z . B

50

Schüler (Sm) und

50

Schülerinnen (Sw) ist das Verhältnis

\frac{1}{1} = 1

D . h

. Unabhängigkeit ist dann immer gegeben, wenn es genauso viele Linkshändler (Lm) wie Linkshändlerinnen (Lw) gibt.

b)

Gibt es

z . B

54

Schülerinnen (Sw) und

53

Schüler (Sm) ist das Verhältnis

\frac{54}{53}

D . h

. Unabhängigkeit ist dann immer gegeben, wenn die Anzahl der Linkshändlerinnen (Lw)

\frac{54}{53}

der Linkshändler (Lm) entspricht. Da nur ganzzahlige Lösungen möglich sind, müssten für eine Unabhängigkeit alle

54

Schülerinnen und

53

Schüler Linkhänder*innen sein.

c)

Gibt es

z . B

66

Schülerinnen (Sw) und

55

Schüler (Sm) ist das Verhältnis

\frac{6}{5}

D . h

. Unabhängigkeit ist dann immer gegeben, wenn es genauso die Anzahl der Linkshändlerinnen (Lw)

\frac{6}{5}

der Linkshändler (Lm) entspricht.
Mögliche sind nur ganzzahlige Lösungen: Lw

= 6

˄ Lm

= 5;

= 12

b

= 10;

= 18

˄ Lm

= 15;

= 24

˄ Lm

= 20;

= 30

˄ Lm

= 25;

usw. ……… bis a Lw

= 66

also alle Schülerinnen ˄ Lm

= 55

Schüler

d)

Gibt es

z . B

75

Schülerinnen (Sw) und

50

Schüler (Sm) ist das Verhältnis

\frac{3}{2}

D . h

. Unabhängigkeit ist dann immer gegeben, wenn es genauso die Anzahl der Linkshändlerinnern (Lw)

\frac{3}{2}

der Linkshändler (Lm) entspricht.
Mögliche sind nur ganzzahlige Lösungen: Lw

= 3

˄ Lm

= 2;

= 6

b

= 4;

= 9

˄ Lm

= 6;

= 12

˄ Lm

= 8;

= 15

˄ Lm

= 10;

usw. ……… bis a Lw

= 75

also alle Schülerinnen ˄ Lm

= 50

Schüler

e)

Gibt es

z . B

54

Schülerinnen (Sw) und

51

Schüler (Sm) ist das Verhältnis

\frac{18}{17}

D . h

. Unabhängigkeit ist dann immer gegeben, wenn es genauso die Anzahl der Linkshändlerinnen (Lw)

\frac{18}{17}

der Linkshändler (Lm) entspricht.
Da nur ganzzahlige Lösungen möglich sind: Lw

= 18

˄ Lm

= 17;

= 36

b

= 34;

= 54

˄ Lm

= 51

HAL9000

14:09 Uhr, 13.11.2024

Du solltest dich in deiner Schreibweise mal an die gängigen Konventionen halten:

Und da steht

(A \cap B)

für den Durchschnitt der beiden Ereignisse bzw. Mengen. Wenn du dagegen die Mächtigkeit dieses Durchschnitts meinst, dann schreib

∣ A \cap B ∣

.

Diese Missachtung des Unterschieds zwischen Menge und deren Mächtigkeit in der Symbolik zieht sich leider durch deinen gesamten Beitrag, und es ist ziemlich lästig, das beim Lesen an den zig betroffenen Stellen gedanklich korrigieren zu müssen.

-----------------------------------------------------------------------

Auf mehr oder weniger verschlungenen Pfaden bist du auch zu der Erkenntnis gelangt, die ich in meinem letzten Beitrag versucht habe zu vermitteln:

1) Unabhängigkeit von Ereignissen

A, B

kann man entscheiden, wenn man exakt die Wahrscheinlichkeiten von

A, B, A \cap B

kennt bzw. berechnen kann.

2) Kennt man hingegen nur Schätzwerte für diese drei Wahrscheinlichkeiten (auf der Basis von Stichproben), dann ist eine Entscheidung über die Unabhängigkeit der zwei Ereignisse allein aufgrund der Prüfung der Produktgleichung für die relativen Häufigkeiten völlig sinnfrei.

Was man allenfalls machen kann ist ein Signifikanztest (Vierfeldertest) mit Nullhypothese "Unabhängigkeit": Der führt nämlich nicht gleich zur Ablehnung bloß weil

h_{n} (A \cap B) \neq h_{n} (A) \cdot h_{n} (B)

für die relativen Häufigkeiten gilt - der Betrag der Differenz beider Werte links und rechts dieser Ungleichung muss dazu schon signifikant groß sein (auch abhängig vom Stichprobenumfang

n

).

-----------------------------------------------------------------------

Anders sieht es aus, wenn man die konkrete Schülerschaft dieser Schule mit ihren Anzahlen als zu betrachtende Grundgesamtheit ansieht. In so einem Fall kann man Unabhängigkeitsaussagen dann eben nur für diese konkrete Schülerschaft stellen, aber keinesfalls auf die Allgemeinheit (oder meinetwegen auch allgemeine Schülerschaft) schließen. Sollte diese konkrete Interpretation gemeint sein, dann sind eingestreute Sätze wie

"Statistiken geben den Anteil der Linkshänder in der Bevölkerung mit 10 bis 15 Prozent an."

aber eher verwirrend als hilfreich zu nennen, weil irrelevant für die konkrete Rechnung.

Joshua2 aktiv_icon

15:31 Uhr, 13.11.2024

Ja, wenn man eine Signifikanz auf Grundlage einer Umfrage festellt wird, muss man sich immer fragen wie weit die zu Grunde gelegte Wahrscheinlchkeit überhaupt signifikant ist. Auf der Basis von

50

befragten Frauen, von denen wiederum

25

Raucherinnen sind und

50

befragten Männern, von denen

20

Raucher sind, wird man wohl nichts verbindliches festellen können. Man müsste in einer repräsentativen Umfrage auch wohl rund 1 Millionen 360tausend Wähler befragen um mit

98 %

das Abschneiden einer Partei deren Stimmanteil unbekannt ist mit höchstens

0,1 %

Abweichung vorherzusagen.

>

Du solltest dich in deiner Schreibweise mal an die gängigen Konventionen halten

Korrekt dürfte sein: Für eine Unabhängigkeit der Eigenschaften „A“ und „B“ muss das
Verhältnis von

| A |

zu |A’| dem Verhältnis von |A∩B| zu |A’∩B| entsprechen.

>

Was man allenfalls machen kann ist ein Signifikanztest (Vierfeldertest)

>

mit Nullhypothese "Unabhängigkeit": Der führt nämlich nicht gleich zur

>

Ablehnung bloß weil hn(A∩B)≠hn(A)⋅hn(B)

Ich hab's auch extra vorsichtig formuiert: "Mittels P(A)⋅P(B)= P(A∩B) zu auf Grundlage von rund

100

Schüler*innen zu ermitteln, ob die Eigenschaft "Schülerin" und Linkshändlerin" unabhängig ist, halte ich daher für unmöglich."

Offenbar scheint für Ereignisse deren Wahrscheinlichkeiten bekannt ist zu gelten:

P(A)⋅P(B) = P(A∩B)

\Rightarrow A

ist von

B

unabhängig
P(A)⋅P(B) ≠ P(A∩B)

\Rightarrow A

ist von

B

abhängig ???

Für Ereignisse deren Wahrscheinlichkeiten nicht genau bekannt ist:

P(A)⋅P(B) = P(A∩B)

\Rightarrow A

ist von

B

unabhängig oder auch abhängig ???
P(A)⋅P(B) ≠ P(A∩B)

\Rightarrow A

kann von

B

unabhängig sein oder auch abhängig (???)

HJKweseleit aktiv_icon

00:15 Uhr, 14.11.2024

Du hast eine Gesamtmenge (hier: alle Würfelpaar-Möglichkeiten) und zwei Eigenschaften (ungerade Summe bzw. Summe < 5). Wenn die erste Eigenschaft A in der Gesamtmenge prozentual genau so oft vorkommt (72/144 = 50 %) wie in der Menge der zweiten Eigenschaft (hier 2/6), dann sind A und B unabhängig.

Anderes Beispiel: Wenn 10 % aller Menschen rauchen und auch 10 % aller Frauen rauchen, sind rauchen und Frau-Sein unabhängig. Für das Rauchen spielt es dann keine Rolle, ob man Mann oder Frau ist.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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