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Was genau sind Fourier-Reihen? und ev. Bsp
Schüler
Tags: bsp, Fourierreihe
 
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Hallo, Fourierreihen bestehn doch aus cos und sin funktionen, richtig? Mit Hilfe diese Reihe kann man unstetige Funktionen mit Hilfe von der Addition von cos- und sin-förmiger Signale dieses Signal darstellen. Es gehn nur unstetige Funktion, also jene Funktionen die irgendwo mitten in der Funktion ihren Wert sprunghaft ändern, diese müssen natürlich auch Periodisch auch sein, d.h. wenn sich in der Funktion nur einmal der Wert ändert und dann nie wieder, dann kann man das nicht mit Fourier darstellen. Habe ich das mal richtig verstanden? Naja und die Fourierreihe sieht ja so aus: [; f(x)= \frac{a0}{2} +a1*cos(x)+a2*cos(2x)+a3*cos(3x)...b1*sin(x)*b2*sin(2x)*b3*sin(3x).... ;] Es werden Koeffizieten addiert, aber was genau, wenn man das aufzeichnet wird da addiert? Ich glaub es wäre eh für den Anfang besser, wenn ich das einfach so hinnehme wie die Fourierreihe aussieht, genau so wie die Taylorreihe und nicht weiß wie man auf das jetzt kommt etc. Was denkt ihr? Dann gibts auch noch 2 Fourierkoeffizienten. Einen für sin und einen für cos: [; an=\frac{1}{pi}*\int_{^-pi}^{pi} f(x)*cos(nx)*dx ;] [; bn=\frac{1}{pi}*\int_{^-pi}^{pi} f(x)*sin(nx)*dx ;] [; a0=\frac{1}{pi}*\int_{^-pi}^{pi} f(x)*dx ;] a0 ist ja sozusagen der Startwert, aber warum wird da immer über eine Periode integriert und dann kommt halt irgendein Wert raus, was bringt das? Ich vermute mal das man einfach zum Schluss die Fourie-Reihe aufstellen kann und somit ist diese Reihe ein Annäherung an eine vorgegebene Funktion f(x). Richtig? Naja was haben den solche Koffizienten allgemein bei Potenzreihen, Taylorreihen und speziell bei Fourierreihen für einen Sinn? Warum wird hier bei an bzw. bn nochmal Grundschwingungen bzw. dann Oberschwingungen dazu multipliziert? Ist es denn wichtig wie man auf an, bn und a0 kommt? Ich meine ich hab erst 6h was davon gehört und naja ich studiere nicht mal(gehe in die 13. Klasse(HTL)). Und dann haben wir auch Merkmale der Fourier-Reihe aufgeschrieben, die ich nicht ganz verstehe: 1. Der Wert der Reihe ist a.) in allen Stetigkeitspunkten gleich dem Funktionswert f(x) b.) in den Unstetigkeitsstellen gleich dem Mittelwert der linken und der rechten Stelle. 2. [; a0=\frac{1}{pi}*\int_{^-pi}^{pi} f(x)*dx ;] Die Fläche über und unter der Kurve im Intervall ]-pi;pi]. a0 ist dann gleich Null, wenn der Flächenanteil oberhalb der x-Achse gleich dem unterhalb der x-Achse ist. 3. Handelt es sich um eine gerade Funktion(symmetrisch zur x-Achse) --> bn-Anteile fallen weg(=0). 4. Handelt es sich um eine ungerade Funktion(punktsymmetrisch zum Ursprung) --> an-Teile fallen weg(=0). a0 ist ebenfalls =0. 5. Bei geraden und ungeraden Funktionen kann bei der Berechnung der Koeffizienten statt [; \frac{1}{pi}*\int_{-pi}^{pi}...*dx ;] auch das Integral in der Form [; \frac{2}{pi}*\int_{0}^{pi}...*dx ;] berechnet werden. Punkt 1: a: wie soll das gehn? ein stetigkeitspunkt ist ja jener punkt auf der [b]gezeichneten[/b] Funktion. Wie kann das immer f(x) sein. Bitte mit Bsp erklären. b:Mittelwert = Durchschnitt, oder? Welche linke und rechte Stelle? Ev. wieder ein Bsp nennen bitte. Punkt 2: Das verstehe ich überhaupt nicht. Bitte erklärt mir dsa genau. Punkt 3: Das könnte ich jetzt einfach so hinnehmen wie sachen die weiter oben stehn, aber wo ist der Beweis, wo sehe ich es das die bn-Anteile wegfallen. Warum fallen sie weg? Punkt 4: Gleiche Frage wie bei Punkt 3. Warum fällt da a0 auch weg? Punkt 5: Veranschaulicht mir das bitte näher, das ich das verstehe. Ja ich weiß viele Frage, ich hoffe jemand hilft mir, weil ich möchte das gerne können, ich hab mich auch informiert im Internet über Fourierreihen, aber das ist da kompliziert erklärt und darum Frage ich hier. Danke im voraus! Gruß Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Die Grundidee ist, ein Signal durch die Addition von Schwingungen darzustellen. Ein gutes (aber nicht so gern gesehenes ) Beispiel ist ein Rechteckssignal mit sehr steilen Flanken, wie man es etwa bei einem Morseapparat auf "Harttastung" findet. Das kann man dann bei fast jeder Empfangsfrequenz hören, weil fast alle darin vorkommen. |
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Danke, aber kann mir wer den Rest erklären bitte? Es ist sehr wichtig für mich :-). |
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"Fourierreihen bestehn doch aus und sin funktionen, richtig?" ja "Mit Hilfe diese Reihe kann man unstetige Funktionen mit Hilfe von der Addition von und sin-förmiger Signale dieses Signal darstellen." ja "Es gehn nur unstetige Funktion, also jene Funktionen die irgendwo mitten in der Funktion ihren Wert sprunghaft ändern, diese müssen natürlich auch Periodisch auch sein, . wenn sich in der Funktion nur einmal der Wert ändert und dann nie wieder, dann kann man das nicht mit Fourier darstellen." fast... unstetige funktionen gehen auch... die funktionen muessen aber nicht unstetig sein... hauptsache sie sind periodisch "Naja und die Fourierreihe sieht ja so aus: . Es werden Koeffizieten addiert, aber was genau, wenn man das aufzeichnet wird da addiert?" du addierst lauter sinus und kosinus signale zusammen. dabei nimmst du unterschiedliche amplituden und unterschiedliche frequenzen, wobei die frequenzen fest vorgegeben sind... es sind ganzzahlige vielfache derjenigen frequenz, die deine periodische anfangsfunktion hat. knackpunkt an der ganzen geschichte ist, dass man jedes periodische signal rekonstruieren kann, indem man lauter solcher sinus/cos wellen zusammenaddiert (akzeptiere das erstmal, ist recht kompliziert das mathematisch zu beweisen)... man muss nur noch herausfinden, mit welcher amplitude die jeweiligen wellen in die addition reingehen muessen. "Ich glaub es wäre eh für den Anfang besser, wenn ich das einfach so hinnehme wie die Fourierreihe aussieht, genau so wie die Taylorreihe und nicht weiß wie man auf das jetzt kommt etc. Was denkt ihr?" ich denke auch, dass du als schueler hier noch vieles akzeptieren und nicht verstehen solltest. akzeptiere also erstmal den rechenweg, aber verstehe, was das ergebnis der transformation ist, wie man das ergebnis interpretiert und wozu man das braucht. die taylorreihe sollte man allerdings mit schulischen mitteln verstanden bekommen. "Dann gibts auch noch 2 Fourierkoeffizienten. Einen für sin und einen für . ist ja sozusagen der Startwert, aber warum wird da immer über eine Periode integriert und dann kommt halt irgendein Wert raus, was bringt das?" ist sozusagen eine sinuskurve mit der frequenz null... man kann es auch als startwert interpretieren. wenn du wie oben erklaert, lauter sinus/cos wellen zusammenaddiert, kann man mit diesen startwert, das gesamte signal nach oben/unten verschieben. man braucht nur ueber eine periode zu integrieren, weil darin schon alle informationen vorhanden sind, die man braucht... denn weiter wiederholt sich das signal ja einfach immer wieder. mit diesem integral kannst du alle deine amplituden berechnen, die oben noch unbekannt waren (den rechenweg dazu erstmal akzeptieren). aber grob kann man das als mustererkennung betrachten. du multiplizierst ja deine anfangsfunktion mit den sinus/cosinus wellen. wenn deine anfangsfunktion ähnlich aussieht zu einer bestimmten sinus/cosinuswelle mit bestimmter frequenz, so sorgt die multiplikation dafuer, dass der resultierende graph weiter "ausschlägt"... damit wird die flaeche unterm graphen groesser und schliesst daraus, dass diese welle mit einer hoeheren amplitude in die gesamtrechnung eingeht (wie schon gesagt, ist das eine sehr grobe darstellung) "Ich vermute mal das man einfach zum Schluss die Fourie-Reihe aufstellen kann und somit ist diese Reihe ein Annäherung an eine vorgegebene Funktion . Richtig?" falsch. das glauben viele leute, die das nicht richtig verstanden haben. anstatt dein direkt anzugeben, gibst du eine reihe von sinus und cosinus wellen mit individuellen amplituden an. du hast damit eine so genannte spektralanalyse gemacht... eine aufteilung deines signals in viele einfache signale... diese reihenangabe ist keine annaeherung sondern EXAKT. addiert man naemlich alle diese einzelwellen wieder zusammen, kommt exakt deine originalfunktion wieder raus (mit einer kleinen ausnahme). in der praxis gibt man dann oft nicht alle wellen an, sondern nur eine hand voll... nur dann ist das eine annaeherung. "Naja was haben den solche Koffizienten allgemein bei Potenzreihen, Taylorreihen und speziell bei Fourierreihen für einen Sinn?" Potenzreihe ist ein sehr allgemeiner begriff. hier kann man keinen direkten sinn festmachen, weil sich das dann überall anwenden laesst (deshalb abstrahieren das die mathematiker auch so weit, damit man nicht auf einen anwendungsbereich beschraenkt ist). Taylorreihen approximieren funktionen in einem punkt (das kann man theoretisch unendlich genau machen). hier geben die koeffizienten an, welche steigung, krümmung, etc. in einem punkt besitzt. bei der fourierreihe geben die koeffizienten die amplituden deiner wellen an. "Warum wird hier bei an bzw. bn nochmal Grundschwingungen bzw. dann Oberschwingungen dazu multipliziert?" das habe ich oben schon versucht mit der mustererkennung zu erklaeren (grob). "Ist es denn wichtig wie man auf an, bn und kommt? Ich meine ich hab erst was davon gehört und naja ich studiere nicht mal(gehe in die . Klasse(HTL))." ja, sonst kannst du ja nicht die fourierreihe nicht zu ende rechnen. "Und dann haben wir auch Merkmale der Fourier-Reihe aufgeschrieben, die ich nicht ganz verstehe: 1. Der Wert der Reihe ist in allen Stetigkeitspunkten gleich dem Funktionswert in den Unstetigkeitsstellen gleich dem Mittelwert der linken und der rechten Stelle. 2. a0=1pi*∫-pipif(x)*dx Die Fläche über und unter der Kurve im Intervall . ist dann gleich Null, wenn der Flächenanteil oberhalb der x-Achse gleich dem unterhalb der x-Achse ist." 3. Handelt es sich um eine gerade Funktion(symmetrisch zur x-Achse) bn-Anteile fallen weg(=0). 4. Handelt es sich um eine ungerade Funktion(punktsymmetrisch zum Ursprung) an-Teile fallen weg(=0). ist ebenfalls . 5. Bei geraden und ungeraden Funktionen kann bei der Berechnung der Koeffizienten statt 1pi*∫-pipi...*dx auch das Integral in der Form 2pi*∫0pi...*dx berechnet werden.! "Punkt 1: wie soll das gehn? ein stetigkeitspunkt ist ja jener punkt auf der b]gezeichneten[/b] Funktion. Wie kann das immer sein. Bitte mit Bsp erklären. b:Mittelwert = Durchschnitt, oder? Welche linke und rechte Stelle? Ev. wieder ein Bsp nennen bitte." Der Wert der Reihe ist ja gerade die addition aller sinus/cosinus wellen. dann soll ja wieder die originalfunktion rauskommen. dort wo die originalfunktion stetig ist, kommt auch bei der wellenaddition exakt deine orignalfunktion wieder raus. das wollten die in ausdruecken. bei zeigen sie eine ausnahme. dort wo du einen sprung in deiner originalfunktion hast, kommt immer bei der addition deiner wellen nicht derselbe sprung wieder raus, sondern hast immer einen funktionswert in der mitte deines sprungs. deine funktion macht dann also immer einen zwischenstop bei einem sprung nach oben bzw. unten... unzwar genau in der mitte. "Punkt 2: Das verstehe ich überhaupt nicht. Bitte erklärt mir dsa genau." naja, wenn du das integral bildest, berechnest du ja die flaeche, die dein funktionsgraph mit der achse einschliesst. dabei sind flaechen unter der achse negativ. wenn nun die flaechen oberhalb der achse genauso gross sind wie unterhalb, so heben sich beide gerade weg. "Punkt 3: Das könnte ich jetzt einfach so hinnehmen wie sachen die weiter oben stehn, aber wo ist der Beweis, wo sehe ich es das die bn-Anteile wegfallen. Warum fallen sie weg?" der beweis steht nicht da (muesstest du aber hinkriegen koennen). aber wieder grob gesagt... wenn deine originalfunktion symmetrisch ist, hat sie maximale aehnlichkeit zu cosinuswellen, weil diese auch symmetrisch sind. am besten ist, du nimmst dir ein einfaches beispiel das soll jetzt deine orignalfunktion sein. jetzt moechtest du gucken wie aehnlich diese funktion ist zu einer deiner unterwellen... nimm dazu gleich . du hast also zwei graphen uebeinander liegen. diese musst du jetzt multiplizieren... dann kommt was fuer ein graph raus (achtung: minus mal minus ergibt plus)? du hast dann maximale fläche unter dem resultierenden graphen. gleiches spiel mit einer sinuswelle. du legst auf eine sinuswelle drauf, multiplizierst die graphen... und kriegst dann gleiche fläche unterhalb bzw oberhalb der achse... die flaechen heben sich auf... hast also minimale aehnlichkeit. die flaeche ist also ein maß fuer die ähnlichkeit. "Punkt 4: Gleiche Frage wie bei Punkt 3. Warum fällt da auch weg?" gleiche antwort wie punkt3... "Punkt 5: Veranschaulicht mir das bitte näher, das ich das verstehe." gerade/ungerade funktionen haben die schoene eigenschaft, dass die einzelnen perioden von selber gespiegelt sind. wenn du also nur die halbe periode kennst, weisst du wie die gesamte periode aussieht, wenn du weisst, wie du die halbe periode zu spiegeln hast. mit der halben periode hast du also die gesamt information die du brauchst... dann musst du nur ueber die halbe periode integrieren und die halbe periode ergibt dann natuerlich im ergebnis nur die halbe flaeche... daher musst du das ergebnis am ende wieder verdoppeln... daher die 2 vor dem integral |
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Danke, aber das mit der Symmetrie ist mir nicht klar. sin(x) ist eine punktsymmetrische bzw. antisymmetrische funktion und cos(x) ist symmetrisch. Wenn jetzt f(x) punktsymmetrisch ist, dann wird: bei bn: f(x)*sin(x) --> also punktsymmetrisch*punktsymmetrisch bei an: f(x)*cos(x) --> also punktsymmetrisch*symmetrisch Wenn jetzt f(x) symmetrisch ist, dann wird: bei bn: f(x)*sin(x) --> also symmetrisch*punktsymmetrisch bei an: f(x)*cos(x) --> also symmetrisch*symmetrisch Also könnte ihr mir erklären was da nun genau passiert bitte? Dann habe ich es sicher ganz verstanden. Ich finde hier heben siche überalle die Flächen auf? Bitte erklärt mir das auf diese Weise und wie stellt man es dar mit f(x), -f(x), f(-x) etc.? Danke! |
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Ahh, ich denke ich habs geschnallt. Wenn ich eine funktion f(x)=sin(x)+0,5 habe. f(x) wäre jetzt nicht Symmetrisch und auch nicht punktsymmetrisch. Entweder man rechnet jetzt normal mit den Formeln a0, an und bn, oder man macht f(x)-0,5 und dann wäre diese Funktion punktsymmetrisch und an=a0=0. Sehe ich das richtig? Warum lautet die Fourierreihe nicht einfach a0+.... am Anfang? Warum rechnet man net einfach den Mittelwert gleich mit aus? Ich vermute ich sollte erstmal so hinnehmen warum symmetrisch*symmetrisch = symmetrisch ist und warum punktsymmetrisch*symmetrisch = punktsymmetrisch ist, oder gibts da eine einfache Erklärung dazu? Der Mittelwert ist ja jener Abstand von der x-Achse zu der Mitte von der Funktion, oder? Also einfach die Höhe des Rechtecks. Naja bei der Fourierreihe addiert man halt unendliche viele Mittelwerte von verschiedenen Oberschwingungen von sin und cos. Was bezweckt denn überhaupt ein Mittelwert? "Der "Gleichanteil". Um diesen Wert schwankt die Funktion." --> Ja gut Gleichanteil, wie kann man sich das vorstellen? Danke im voraus! Gruß |
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