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Was hat Kern mit Injektivität zu tun?
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Abbildung, Gruppen, injektiv, Injektivität, Kern
 
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Hallo Forum, ich habe eine AUfgabe und eine Lösung dazu, die ich aber nicht ganz verstehe. Aufgabe: Es sei eine Gruppe und : G -> G die Abbildung, die für jedes g aus G durch = =: gegeben ist. Begründen Sie, weshalb im Fall G = (mit der Multiplikation als Verknüpfung) die Abbildung injektiv und surjektiv ist. Im Lösungsvorschlag steht Folgendes: Im gegebenen Fall ist die Abbildung injektiv, da . Ich verstehe aber nicht, warum es in dem Fall Erklärung für die Injektivität ist. Ich habe schon gesehen, dass eine Abbildung ist injektiv, wenn Kern gleich 0 ist, aber das war für den Kern bezüglich der Addition. Und warum steht hier eine "Nebenbedingung" = 1? So wie ich es mir vorstelle, muss es folgendermaßen sein: Ich nehme ein beliebiges x aus und der soll auf 1 abgebildet werden. Aber das stimmt doch nicht. Würde ich z.B. 5 auswählen, wäre dann 5 auf 25 abgebildet. Also könnte mir jemand erklären, wie man diese Lösung richtig interpretiert? Warum diese Abbildung surjektiv ist, verstehe ich. Vielen Dank Albert |
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Es gibt keinen Unterschied zwischen Addition und Multiplikation. Sie erfüllen die gleichen Eigenschaften. Nur dass das neutrale Element für Addition meistens 0 heißt und für Multiplikation meistens 1. |
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ist keine Nebenbedingung, sondern die Definition des Kerns in diesem konkreten Fall. Allgemein, wenn ein Homomorphismus ist, dann ist Kern - im multiplikativen Fall. Oder allgemeiner mit neutralem Element . |
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Ach so. Das war natürlich blöde Frage von meiner Seite. Jetzt verstehe ich (hoffentlich). Kann ich behaupten, dass wenn der Kern eine Abbildung z.B. für eine Operation (Addition, Multiplikation, was auch immer das noch sein kann) gleich dem neutralen Element ist, dann ist die Abbildung linear? |
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Nein, linear ist ein Begriff aus der Theorie der Ringe und Module oder öfter der Körper und Vektorräume (Körper ist ein besonderer Fall eines Ringes und Vektorraum entsprechend ein besonderer Fall eines Moduls). Linear bedeutet , also beziehst sich auf zwei Operationen. |
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Gut. Dann kann ich sagen, dass wenn der Kern einer linearen Abbildung gleich dem neutralen Element ist, dann ist sie injektiv? Ich habe z.B. sowas schon oft gesehen: F injektiv Kern(F) = 0, wo F - eine lineare Abbildung ist. Aber streng genommen ist es nicht richtig, weil anstelle von 0 kann ein anderes neutrales Element stehen, oder? Ich meine, das wäre mir lieber: F injektiv ⇔ Kern(F) = e, wo F - eine lineare Abbildung ist und e - ein neutrales Element. Stimmt es jetzt? |
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Wie gesagt, wenn es um lineare Abbildungen geht, dann geht es fast immer um Vektorräume und in dem Vektorraum nennt man das additive neutrale Element immer 0, das hat Tradition. Daher entstehen keine Missverständnisse. Es ist aber etwas Anderes, wenn Du in der Gruppentheorie bist, da sind verschiedene neutrale Elemente möglich. Es ist immer gut zu wissen, in welchen Bereich der Mathe Du bist, in jedem gibt's eigene Formalismen. Kern nur aus dem neutralen Element garantiert Injektivität, das ist leicht zu zeigen. |
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Danke. Jetzt habe ich es verstanden. |
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