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Was ist die Wahrsch. den zweiten Zug zu bekommen?

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Verteilungsfunktionen

Zufallsvariablen

Tags: Normalverteilung, Verteilungsfunktion, Zufallsvariablen

notagrizzly aktiv_icon

14:28 Uhr, 31.10.2024

Moin,

ich baue ein Modell, das Zuverlässigkeit von Bahnverbindungen einschätzt. Dafür habe ich Züge und deren Ankunftszeiten erfasst und als Normalverteilung um die durchschnittliche Ankunftszeit dargestellt. Nun möchte ich berechnen, was die Wahrscheinlichkeit ist, bei einem Umstieg den zweiten Zug noch zu bekommen, wenn man im ersten Zug saß. Dabei ist zu beachten, dass ich die Verteilungen am Punkt der Planmäßigen abfahrt abgeschnitten habe, da Abfahren vor dieser Zeit in der Realität nicht vorkommen. Ich hatte überlegt die Schnittfläche der Verteilungen zu berechnen, aber bin mir nicht sicher, ob das der richtige Ansatz ist. Falls jemand von euch weiß, wie ich das Problem angehen kann würde ich mich sehr freuen.

Ich habe der Frage zwei Beispiele angehängt.

HAL9000

09:59 Uhr, 01.11.2024

Wenn

X

der Ankunftszeitpunkt des ersten Zuges und

Y

der Abfahrtszeitpunkt des zweiten Zuges sind, dann suchst du ja für die Differenz

Z := Y - X

die Wahrscheinlichkeit

P (Z \geq 0)

. Bei unabhängigen und stetig verteilten Zufallsgrößen

X, Y

ist auch

Z

stetig verteilt, und zwar mit Faltungsdichte

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x + z) d x = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (y - z) f_{Y} (y) d y

Im Fall von

X \sim N (μ_{x}, σ_{x}^{2})

und

Y \sim N (μ_{y}, σ_{y}^{2})

wäre das kein Problem, da ergibt sich als Faltungsverteilung

Z \sim N (μ_{y} - μ_{x}, σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2})

. Leider hast du hier aber zumindest bei

Y

eine "abgeschnittene" Normalverteilung, da wirst du wohl neu rechnen müssen, teilweise geht es womöglich auch nur numerisch.

HJKweseleit aktiv_icon

00:29 Uhr, 04.11.2024

Zunächst: Du hast natürlich die blaue Ankunftskurve so weit zeitlich nach rechts verschoben, dass sie nicht die Ankunftszeit des Zuges auf Bahnsteig 2 darstellt, wenn der Anschlusszug auf Bahnsteig 9 erfolgt, sondern die Ankunftzeit für einen Reisenden, der auf Bahnsteig 2 ankam und jetzt nach Fußweg auf Bahnsteig 9 ankommt und dort einsteigen könnte.

Bei der Abfahrtskurve darfst du nicht vom Hochpunkt der Abfahrtskurve starten, sondern von der frühest möglichen Abfahrtzeit, also der Fahrplanabfahrtszeit A!

Nun zur Mathematik (s. dein von mir bearbeitetes Bild).

Wer vor der Abfahrtszeit ankommt, kommt immer mit (grüne Fläche). Die Fläche kannst du also ohne Wenn und Aber sofort als Teilsumme berechnen:

\int_{- \infty}^{A} f (x) d x .

Nehmen wir nun an, jemand kommt zur Zeit x, im Bild x = 67200. Die W. dafür ist f(x) (schwarzer Balken). Die W. dafür, dass er mitkommt, ist die Gesamtwahrsch. für alle Züge, die danach abfahren (rote Fläche). Diese beträgt

\int_{x}^{\infty} g (y) d y

. Also ist die W. für diesen Vorgang

f (x) \cdot \int_{x}^{\infty} g (y) d y

.

Das musst du nun für alle Zeitpunkte x ab Ankunft

\geq

Fahrplanabfahrtszeit A aufsummieren:

\int_{A}^{\infty} f (x) \cdot \int_{x}^{\infty} g (y) d y d x

. Das ist die zweite Teilsumme.

Wichtig: Wenn du die beiden Kurven (f und g) als Gauss-Kurven betrachtest: Die Fläche unter der (normierten) Gauss-kurve ist 1, die Gesamtwahrscheinlichkeit. Das Integral

\int_{A}^{\infty} g (y) d y

ist aber dann <1, da der linke Teil fehlt. Deshalb stellst du fest, wie groß diese Fläche und damit die entsprechende Gesamtwahrscheinlichkeit ist. Kommt z.B. nur 0,8 heraus, multiplizierst du g(y) noch mit 1,25, damit diese wieder den Wert 1 hat (ggf. auch den rechten Rand beschneiden). Das selbe gilt auch für die blaue Fläche, wenn diese erst bei einem bestimmten Zeitpunkt beginnen (und ggf. enden) soll.

Viel Spaß!

notagrizzly aktiv_icon

11:15 Uhr, 04.11.2024

Klingt gut, danke!

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