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Was ist eigentlich die "Spezielle Lösung"?

Schüler Berufskolleg,

Tags: DGL, Differentialgleichung, spezielle Lösung

Nargilem aktiv_icon

21:51 Uhr, 26.10.2016

Hallo,

ich wollte mal fragen, was eigentlich die spezielle Lösung ist?
Im Internet steht überall, wie man sie berechnet, doch was macht man eigentlich damit?

LG Chris

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

23:08 Uhr, 26.10.2016

Es geht wohl um Differenzialgleichungen und möglicherweise um das Zusammensetzen der Lösung aus Lösung der zugehörigen homogenen DGL und einer Partikulärlösung.

Es geht also nicht um DIE spezielle Lösung, sondern um EINE spezielle Lösung.

Wenn du eine DGL löst, so ist die Lösung

i . a

. ja nicht eine einzige Funktion, sondern ein Haufen von unendlich vielen Funktionen, die von einem oder auch von mehreren frei wählbaren Konstanten abhängig gemacht werden können.
Eine spezielle Lösung ist einfach eine ganz bestimmte Lösung unter all den vielen möglichen.

Einfaches Beispiel:

y'' (x) = 12 \cdot x^{2}

Die Lösung besteht hier einfach aus zweimaligem Integrieren:

y' (x) = 4 \cdot x^{3} \cdot C_{1}

die Integrationskonstante

C_{1}

ist frei wählbar

y (x) = x^{4} + C_{1} \cdot x + C_{2}

Das ist die allgemeine Lösung. Ich kann beliebge Werte für

C_{1}

und

C_{2}

einsetzen und erhalte jedes Mal eine gültige Lösung.
Für

C_{1} = - 3

und

C_{2} = 2

ergbt sich die spezielle Lösung

y (x) = x^{4} - 3 x + 2

und wie du durch zweimaliges Differenzeren leicht überprüfen kannst, ist das eine Lösung.

Du kommst beim Lösen von DGLen möglicherweise auf zwei Arten mit solchen speziellen Lösungen (oder auch Partikulärlösungen) in Berührung:

1)

zB beim Lösen einer inhomogenen linearen DGL. Hier ist der übliche Lösungsweg, dass man erst mal die zugehörige homogene DGL löst (Lösung

y_{h})

. Da stecken bereits die frei wählbaren Konstanten drin. Dann muss man nur mehr irgend eine beliebige Partikulärlösung

y_{p}

finden und die allgemeine Lösung der DGL ist dann

y = y_{h} + y_{p}

.
Um eine Partikulärlösung zu finden gibts im Wesentlichen drei Methoden:

a)

Erraten. Das fällt dem Praktiker oft sehr leicht, da er weiß, woher seine DGL stammt und er vl für einen Spezialfall die Lösung kennt und das reicht.

b)

Variation der Konstanten

c)

unbestimmter Ansatz

2)

Wenn in der Angabe noch zusätzliche sogenannte Anfangsbedingungen stehen. Dann ist nicht die allgemeine Lösung der DGL gesucht, sonder eine ganz bestimmte, die eben diese Bedingungenerfüllt.
ZB obiges Beispiel

y'' (x) = 12 \cdot x^{2}

mit den Zusatzbedingungen

y (0) = 3

und

y' (0) = 1

. Also die Lösungskurve soll durch

(0 / 3)

laufen und dort den Anstieg 1 haben.
Die allgemeine Lösung war

y (x) = x^{4} + C_{1} \cdot x + C_{2}

. Damit ist

y' (x) = 4 x^{3} + C_{1}

. Wenn du dort

x = 0

einsetzt soll also 1 rauskommen

\to 1 = 3 \cdot 0^{3} + C_{2} \Rightarrow C_{1} = 1

.
Damit haben wir

y (x) = x^{4} + x + C_{2}

und wenn wir dort

x = 0

einsetzen, soll 3 rauskommen

\to 3 = 0^{4} + 0 + C_{2},

also

C_{2} = 3

.
Die gesuchte Partikulärlösung ist also

y (x) = x^{4} + x + 3

R

Nargilem aktiv_icon

20:19 Uhr, 27.10.2016

Vielen Dank! Ganz verstanden habe ich den Zweck noch nicht, aber deine Aufschlüsselung hat mir dennoch einige Fragen beantwortet. :-)

Eine kleine davon unabhängige Frage habe ich allerdings seit heute noch.

\int \frac{d x}{x} = \int

/ (\sqrt{u^{2} - 1})

Bei der Trennung der Variablen haben wir durch Wurzel
von

(\sqrt{u^{2} - 1})

dividiert und dabei Loesungen mit der Wurzel
von

(\sqrt{u^{2} - 1})

verloren.

Was ist mit dieser Aussage in Verbindung mit der Gleichung gemeint?

Roman-22

21:12 Uhr, 27.10.2016

Diese Frage hat gar nichts mit Infinitesimalrechnung zu tun.

Ein einfacheres Beispiel: Zu lösen sei die Gleichung

(x - 2) \cdot (x + 5) = 0

Es ist offensichtlich (Produkt-Null-Satz), dass sie die beiden Lösungen

x_{1} = 2

und

x_{2} = - 5

hat.

Jetzt dividieren wir beidseits aber durch

(x - 2)

und erhalten

x + 5 = 0

mit der einzigen Lösung

x = - 5

.

Wir haben also die Lösung, die von

x - 2 = 0

stammt, verloren.

Unser Fehler war, dass wir uns ja nicht sicher sein konnten, dass wir da nucht durch 0 dividieren, denn das wäre natürlich nicht erlaubt.

Korrekt wäre gewesen, mit einer Fallunterscheidung zu arbeiten:
1. Fall:

x - 2 \neq 0

Jetzt dürfen wir munter durch

x - 2

dividieren und erhalten einmal die Lösung

x = - 5

2.Fall:

x - 2 = 0

Daraus folgt

x = 2

(dh noch nicht, dass das eine Lösung ist!) und jetzt schauen wir einmal, was sich damit ergibnt, wenn wir

x = 2

in die Angabe einsetzen:

(2 - 2) \cdot (2 + 5) = 0

oder

0 = 0

Da schau her, eine wahre Aussage! Also haben wir noch eine weiter Lösung ,mit

x = 2

.

Ähnlich ist es auch in deinem Fall.
Wenn ihr beim Lösen durch

\sqrt{u^{2} - 1}

dividiert habt, dann habt ihr nur den Fall behandelt, dass dieser Ausdruck nicht Null ist, dass also

u^{2} \neq 1

gilt.
Daher müsst ihr anschließend noch untersuchen, was sich ergibt, wenn dieser Ausdruck doch Null ist, wenn also entweder

u = 1

oder

u = - 1

ist. Möglich dass sich da eine andere Lösung ergibt, vielleicht aber auch nicht.

R

Nargilem aktiv_icon

20:41 Uhr, 30.10.2016

Super! Jetzt weiß ich Bescheid.
Nochmals vielen Dank.

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