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Welche x erfüllen folgende ungleichung

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Sonstig

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16:45 Uhr, 11.11.2017

Guten Abend,

Bei folgender Aufgabe hänge ich gerade hoffe dass mir jemand weiterhelfen kann..

Welche

x

erfüllen folgende Ungleichung:

| x^{2} + x - 2 | < x + 2

Bisher habe ich folgendes:
Für

x > 0

gilt

x^{2} - 4 < 0 \Rightarrow | x | < 2

L 1 =] - 2; 2 [

Für

X = 0 \Rightarrow

ist immer wahr

Für

x < 0

X^{2} + 2 x > 0 \Rightarrow x > - 2

L2=

]

-2;unendlich[

Die Lösung sollte sein

L = 0 < x < 2

Ich verstehe nicht wie man

] - 2; 0]

ausschließen soll da ich immer auf obige Lösungen komme

Wäre für Hilfe sehr dankbar

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Respon

16:58 Uhr, 11.11.2017

Für

x = 0

ist die Ungleichung nicht erfüllt.

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17:05 Uhr, 11.11.2017

na richtig aber ich weißem ehrlich zu sein nicht wie man das rechnerisch darstellen soll dass

x > 0

in der LösungsMenge gilt

abakus

17:25 Uhr, 11.11.2017

Deine Fallunterscheidung bezüglich x>0, x=0, x>0 ist sinnlos.
Unterscheide, wann der Term x²+x-2 negativ ist und wann nicht.

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17:35 Uhr, 11.11.2017

Habe ich,es ist für

] - 2; 1 [

negativ aber war bringt mir das?

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17:39 Uhr, 11.11.2017

x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)

Wann ist das positiv, wann negativ?
Es gibt 4 Fälle.

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17:44 Uhr, 11.11.2017

Also
Für

x < 1 \to

negativ

1 < x < 2 \to

positiv

2 < x \to

positiv
Ein vierter Fall fällt mir da nicht ein

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17:45 Uhr, 11.11.2017

Falls damit der vierte Fall gemeint ist dann

x < - 2

positiv
Aber ich weiß noch nicht wie mir das bei der Aufgabe weiterhilft

\frac{:}{}

ledum aktiv_icon

18:51 Uhr, 11.11.2017

Hallo

x^{2} + x - 2 = (x + 2) \cdot (x - 1)

jetzt Falluntrscheidung
1.

x + 2 > 0

und

x - 1 > 0

also ingesamt

x > 1

dann Betrag weglassen
2.

x + 2 < 0

und

x - 1 < 0

also insgesamt

x < - 2

auch Betrag weglassen
3.

x + 2 > 0 x - 1 < 0

also

- 2 < x < 1

Betrag durch das negative ersetzen
4.

x + 2 < 0

und

x - 1 > 0

geht nicht
also hast du in Wirklichkeit nur die 3 Fälle
Gruß ledum

Atlantik aktiv_icon

18:55 Uhr, 11.11.2017

Ein Weg ohne Fallunterscheidung:

| x^{2} + x - 2 | < x + 2 |^{2}

{(x^{2} + x - 2)}^{2} < {(x + 2)}^{2}

{(x + 2)}^{2} \cdot {(x - 1)}^{2} < {(x + 2)}^{2} | : {(x + 2)}^{2}

bei

x \neq - 2

{(x - 1)}^{2} < 1

x_{1} < 1 + 1 = 2

x_{2} > 1 - 1 = 0

L : 0 < x < 2

mfG

Atlantik

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15:38 Uhr, 12.11.2017

wie kommst du denn auf das

x 2 > 1 - 1

Atlantik aktiv_icon

15:56 Uhr, 12.11.2017

{(x - 1)}^{2} < 1

Bei

{(x - 1)}^{2} = 1

gilt

x_{1} = 1 + 1 = 2

und

x_{2} = 1 - 1 = 0

Da nun

f (x) = {(x - 1)}^{2}

eine nach oben geöffnete Parabel ist, muss gelten

x_{1} < 2

und

x_{1} > 0

Würde

x < 0

richtig sein führt das zu

z . B

{(- 1 - 1)}^{2} < 1

und das stimmt nicht.

mfG

Atlantik

G r a p h e n :

assass612 aktiv_icon

17:13 Uhr, 12.11.2017

Ah gut okay eine letzte frage hätte ich noch zu einem deiner rechenschritte:

du hast gerechnet

{| (x + 2) (x - 1) |}^{2} < {(x + 2)}^{2}

\Rightarrow {(x + 2)}^{2} \cdot {(x - 1)}^{2} < {(x + 2)}^{2}

\Rightarrow {(x - 1)}^{2} < 1

Bei einer früheren aufgabe zu der ich eine frage hatte (siehe hier: www.onlinemathe.de/forum/Signum-einer-Zahl ) wurde mir gesagt, dass sich der betrag durchs quadrieren nicht auflöse. übersehe ich hier dann etwas oder wird der betrag durchs quadrieren doch weggekürzt?

Atlantik aktiv_icon

17:38 Uhr, 12.11.2017

| x | < 4

\sqrt{x^{2}} < 4 |^{2}

x^{2} < 16

x_{1} < 4

x_{2} > - 4

. .

| x | < 4

1.Fall

x \geq 0

x < 4

2.Fall

x < 0

- x < 4 | \cdot (- 1)

x > - 4

->Ergebnisse sind identisch.

Siehe auch:

www.onlinemathe.de/forum/Betragsungleichung-loesen-15

mfG

Atlantik

G r a p h e n :

abakus

17:39 Uhr, 12.11.2017

Das war doch was ganz anderes. Da hattest du keinen Betrag quadriert, sondern eine Wurzel.
Das Quadrierenj hat nur die Wurzel beseitigt. Danach kam ein Betrag zum Vorschein, den du mit Fallunterscheidung behandeln solltest.

DORT hättest du den Betrag tatsächlich mit Quadrieren beseitigen können, aber dazu hättest du NOCHMAL quadrieren müssen.

assass612 aktiv_icon

18:10 Uhr, 12.11.2017

Oh okay, dann danke ich vielmals für die ausführliche hilfe1

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