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Welcher der Terme ist Vektor, Skalar

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: orthogonalität, Skalarprodukt, Vektorrechnung

christian11

11:10 Uhr, 16.07.2011

Hallo habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:

Welcher der Terme ist ein Vektor, welcher ein Skalar, welcher ist nicht definiert?

1) (\vec{a} \vec{b}) \cdot (\vec{c} x \vec{d})

2) \vec{a} x ((\vec{b} x \vec{c}) \cdot \vec{d})

3) (\vec{a} x \vec{b}) \cdot (\vec{c} + \vec{d})

4) ((\vec{a} x \vec{b}) \cdot \vec{c}) x \vec{d}

5) ((\vec{a} + \vec{b}) x \vec{c}) x \vec{d}

6) ((\vec{a} + \vec{b}) x \vec{c}) \cdot \vec{d}

7) (\vec{a} x \vec{b}) - \vec{c}

8) \vec{a} x (\vec{b} - \vec{c})

x

soll hier ein Skalarprodukt sein

\cdot

ein normales Mal

Weiß leider nicht wie ich es übersichtlicher schreiben könnte

Schonmal vorab vielen Dank.

Meine Ansätze:

1)

Skalarprodukt mal Skalarprodukt = Skalar

7)

Skalar - Vektor = nicht definiert

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

DmitriJakov aktiv_icon

11:41 Uhr, 16.07.2011

Du, das kann kein Mensch wirklich lesen. Schau mal dort rein:
http//www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf

Und mit "vec(x)" erreichst Du

\vec{x}

Und mit "((1),(2),(3))" erreichst Du

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})

rundblick aktiv_icon

12:43 Uhr, 16.07.2011

deine Erklärungen ("Ansätze") sind seltsam..
.. deshalb solltest du auch das nochmal überlegen:

"x soll hier ein Skalarprodukt sein
⋅ ein normales Mal "

1)

ist mit

x

zB nicht eher das Kreuzprodukt ("vektorielles Produkt") gemeint?

2)

und wann ist bei dir ein Produkt "normal"?

christian11

13:35 Uhr, 16.07.2011

Könntest du mir vielleicht erklären wie man überhaupt vorgehen muss? Habe leider nicht wirklich Ahnung was ich machen soll.

Ich habe die Aufgabe mal eingescannt, ist ja doch um einiges übersichtlicher, weiß nicht wieso ich nicht direkt drauf gekommen bin :-D).

DmitriJakov aktiv_icon

13:45 Uhr, 16.07.2011

Vielleicht hilft das hier weiter:
Das Produkt zweier Vektoren ergibt einen Skalar.
Das Produkt aus einem Vektor und einem Skalar ist ein Vektor
Die Summe oder Differenz zweier Vektoren ist ein Vektor.

christian11

10:06 Uhr, 17.07.2011

Hier hab ich dann mal meine Ansätze:

1)

Skalar

\cdot

Skalar

\Rightarrow

Skalar

2)

(Skalar

\cdot

Vektor)

\cdot

Skalar

\Rightarrow

Vektor

3)

Skalar

\cdot

Vektor

\Rightarrow

Vektor

4)

(Skalar

\cdot

Vektor)

\cdot

Skalar

\Rightarrow

Vektor

5)

(Vektor

\cdot

Skalar)

\cdot

Skalar

\Rightarrow

Vektor

6)

(Vektor

\cdot

Skalar)

\cdot

Vektor

\Rightarrow

Vektor

7)

Skalar - Vektor

\Rightarrow

nicht definiert

8)

Skalar

\cdot

Vektor

\Rightarrow

Vektor

Kommt mir jedoch etwas komisch vor, dass ich so oft Vektoren herausbekommen habe :-D) . Wäre nett wenn mir jemand vielleicht erklären könnte ob ich Vektor

\cdot

Skalar oder Skalar

\cdot

Vektor rechnen darf, da ich in einem älteren Beitrag aus einem anderen Forum nur durcheinander gekommen bin.

rundblick aktiv_icon

10:52 Uhr, 17.07.2011

"erklären könnte ob ich Vektor ⋅ Skalar oder Skalar ⋅ Vektor rechnen darf"

wenn du einen Vektor mit einem Skalar malnimmst, also ein skalares Vielfaches
des Vektors haben willst, dann spielt die Reihenfolge im Prinzip keine Rolle,
also zB

5 \cdot (\vec{a}) = (\vec{a}) \cdot 5

beide Schreibweisen sind möglich; meistens setzt man als ersten Faktor den
Skalar, also

5 \cdot \vec{a} = 5 \vec{a}

rundblick aktiv_icon

10:56 Uhr, 17.07.2011

und noch dazu:
"Hier hab ich dann mal meine Ansätze:.."

zu den oben eingescannten Aufgaben passen deine Antworten zu

1; 3

und 7

Deine restlichen Vorschläge solltest du nochmal überdenken..
Beispiel
deine Lösung "4) (Skalar ⋅ Vektor) ⋅ Skalar ⇒ Vektor"
passt nicht zu

4) .

((\vec{a} (x) \vec{b}) \cdot \vec{c}) (x) \vec{d}

es ist
((Skalar) .mal. Vektor)

(x)

Vektor = Vektor

(x)

Vektor = Skalar

usw..
ok?

christian11

12:42 Uhr, 17.07.2011

Sorry wenn ich mich hier etwas blöd anstelle

\frac{=}{,}

hier dann nochmal ein Versuch:

1)

Skalar

\cdot

Skalar

\Rightarrow

Skalar

2)

Vektor

\cdot

Vektor

\cdot

Vektor

\cdot

Vektor

\Rightarrow

Skalar

3)

Skalar

\cdot

Vektor

\Rightarrow

Vektor

4)

Vektor

\cdot

Vektor

\cdot

Vektor

\cdot

Vektor

\Rightarrow

Skalar

5)

Vektor

\cdot

Vektor

\cdot

Vektor

\Rightarrow

Vektor

6)

Vektor

\cdot

Vektor

\cdot

Vektor

\Rightarrow

Vektor

7)

Skalar - Vektor

\Rightarrow

nicht definiert

8)

Vektor

\cdot

Vektor

\Rightarrow

Skalar

Dann sollten 5 und 6 wieder falsch sein, verstehe da nicht wie ich vorgehen muss und wo von der Rechnung her ein Unterschied zwischen den Aufgaben ist.

Schonmal besten Dank für deine Hilfe !

rundblick aktiv_icon

13:01 Uhr, 17.07.2011

na ja - es ist etwas mühsam - mit den verschiedenen Bedeutungen des "*" Zeichens

bei

6)

schreibst du: " Vektor ⋅ Vektor ⋅ Vektor ⇒ Vektor "

nun, mit

6)

(Vektor ⋅ Vektor) ⋅ Vektor ⇒ Vektor
könntest du sagen "in der Klammer steht ein Skalarprodukt, also bleibt
Skalar

\cdot

Vektor = Vektor
was dann richtig ist

bei

5)

steht in der Klammer ein Skalar .. und mit dem ein Skalarprodukt mit

\vec{d}

..??

christian11

13:52 Uhr, 17.07.2011

Also Skalar

\cdot

Skalar = Skalar ?

rundblick aktiv_icon

14:01 Uhr, 17.07.2011

"Also Skalar ⋅ Skalar = Skalar ?"

meinst du Aufgabe

5)

((\vec{a} + \vec{b})

[

skalar mal]

\vec{c})

[

skalar mal]

\vec{d}

bei einem Skalarprodukt müssen beide "Faktoren" Vektoren sein
dh, ein Skalarprodukt kannst du NUR mit zwei VEKTOREN bilden

also

5) : \to

christian11

14:07 Uhr, 17.07.2011

Ich hab keine Ahnung mehr, wäre nett wenn du einfach die Lösung sagst. Ich würde jetzt sagen man hat bei 5 Vektor

\cdot

Vektor

\cdot

vektor wodurch man als Endergebnis einen Vektor erhält. Verstehe dann aber wie gesagt nicht den Unterschied zu Aufgabe

6,

da vorher "Skalar" und "Mal" synonym verwendet wurden, jetzt dann aber nicht mehr ..

rundblick aktiv_icon

14:12 Uhr, 17.07.2011

also nochmal - (siehe auch oben):
bei

6)

nimmst du ein Vielfaches von

\vec{d}

bei

5)

steht ein Skalarprodukt , wobei ein Faktor gar kein Vektor ist

!!

also

. .

christian11

14:15 Uhr, 17.07.2011

Also nicht definiert ?

DmitriJakov aktiv_icon

14:19 Uhr, 17.07.2011

Sorry, wenn ich mich einmische, aber gibt es zwischen Aufgabe 5 und 6 überhaupt einen Unterschied außer dem Zeichen "*" und

\cdot

? Diese Unterscheidung, die in der Aufgabe zwischen diesen beiden Zeichen gemacht wird, ist doch überhaupt nicht mathematische standard Schreibweise, oder täusche ich mich da jetzt?

rundblick aktiv_icon

14:43 Uhr, 17.07.2011

DmitriJakov, schau dir die eingescannten Aufgaben an, dort wird wohl
sichtbar, welche "Art" der Multiplikation jeweils gemeint ist.
(und christian11 hatte zu Beginn die Abmachungen über die Verknüpfungszeichen notiert)

DmitriJakov aktiv_icon

14:50 Uhr, 17.07.2011

Was die Aufgabe "will" ist mir schon klar, nur habe ich das starke Gefühl, dass sie Christian11 so derart verwirt hat, dass der pädagogische Gedanke, der hinter der Aufgabe stehen mag, voll in die Hose ging.

rundblick aktiv_icon

14:57 Uhr, 17.07.2011

"..Christian11 so derart verwirt..

..voll in die Hose.."

und ich glaube nicht, dass christian11 verwirrt die Hosen voll hat,
denn er hat sich nun doch ganz gut durch das Dickicht ans Licht gekämpft..

DmitriJakov aktiv_icon

15:09 Uhr, 17.07.2011

Also bitte, ich habe doch nicht geschrieben, dass irgendwer die Hosen voll hat. Wenn Du zitierst, dann bitte korrekt!

Ich kann mich des Eindrucks nicht erwehren, dass Du, Christian11, zwar nun die Aufgabe vollständig richtig gelöst hast, aber trotzdem nicht so recht weisst warum.

Ich habe den Verdacht, dass Du bei einer geraden Anzahl von Vektoren, die miteinander multipliziert werden, davon ausgehst, dass das Resultat ein Skalar ist und bei einer ungeraden Anzahl ein Vektor. Kann das sein?

Das ist jetzt nicht unbedingt falsch, aber auch nicht unbedingt das, was Du aus der Aufgabe mitnehmen solltest.

christian11

15:20 Uhr, 17.07.2011

Den Eindruck habe ich jetzt so gewonnen, ja. Ich weiß wie ich es machen muss, wirklich verstanden habe ich es leider noch nicht so ganz, da es nun so wirkt als sei es bis auf die Aufgaben 5 und 6 relativ egal, ob nun ein Skalar- oder ein Multiplikationszeichen verwendet wird. Aber kritisiert euch doch bitte nicht gegenseitig.

christian11

16:02 Uhr, 17.07.2011

Wäre vielleicht nett, wenn dann noch einmal jemand versucht es zu erklären. Schonmal Danke!

DmitriJakov aktiv_icon

16:04 Uhr, 17.07.2011

. .

Shipwater aktiv_icon

17:21 Uhr, 17.07.2011

Das Skalarprodukt, was in deiner Aufgabe mit "*" bezeichnet wird, ist erstmal nur für zwei Vektoren definiert. Du kannst also nicht zwei Zahlen skalarmultiplizieren oder einen Vektor mit einer Zahl skalarmultiplizieren. Das ergibt keinen Sinn, daher wären solche "Produkte" einfach undefiniert. Und wie der Name schon verrät, ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren stets ein Skalar (also eine stinknormale Zahl).
Das übliche Malzeichen sollte dir bekannt sein. Multipliziert man zwei Zahlen, so erhält man als Ergebnis natürlich wieder eine Zahl. Man kann jetzt aber auch eine Zahl mit einem Vektor üblich multiplizieren. Das Ergebnis dieser Multiplikation ist ein Vektor. Multipliziert man einen Vektor zum Beispiel üblich mit der Zahl 3 dann behält dieser einfach seine Richtung bei und wird dreimal so lang. (Ergebnis also immer noch ein Vektor)
Bei Aufgabe

(1)

steht in beiden Klammern das Skalarprodukt zweier Vektoren. Also steht in beiden Klammern ein Skalar (also eine stinknormale Zahl) und das Produkt zweier Skalare ist natürlich wieder ein Skalar. Bei Aufgabe

(2)

ist

\vec{b} ⋆ \vec{c}

erstmal ein Skalar und

(\vec{b} ⋆ \vec{c}) \cdot \vec{d}

dann also das Produkt aus einem Skalar und einem Vektor was ja einen Vektor ergibt. Der ganze Ausdruck

(\vec{b} ⋆ \vec{c}) \cdot \vec{d}

steht also für einen Vektor. Und

\vec{a} ⋆ ((\vec{b} ⋆ \vec{c}) \cdot \vec{d})

ist dementsprechend das Skalarprodukt zweier Vektoren was als Ergebnis ein Skalar hat. Hast du es jetzt eher verstanden?

christian11

10:25 Uhr, 18.07.2011

Jop, jetzt hab ich alles verstanden. Danke an euch

3!

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