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Wert des Cauchy Produkts bestimmen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Analysis, Cauchy, Cauchy Folge, ergebnis, Folge, Folgen und Reihen, produkt, reih, Summe

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Panni

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18:09 Uhr, 15.05.2016

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Hallo zusammen,

Als Übungsaufgabe sollen wir das Cauchy Produkt zweier Reihen bestimmen und dessen Wert berechnen.

Um folgende Reihen handelt es sich:

\sum_{n = 0}^{\infty} 2^{- n}

\sum_{n = 0}^{\infty} 3^{- n}

Das Cauchy Produkt habe ich jetzt wie folgt gebildet:

\sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{k} 2^{- j} \cdot 3^{- k + j}

Ein Ansatz von mir war folgender:

\sum_{j = 0}^{k} 2^{- j} \cdot 3^{- k + j}

= \sum_{j = 0}^{k} 2^{- j} \cdot 3^{- k} \cdot 3^{j}

= 3^{- k} \cdot \sum_{j = 0}^{k} 2^{- j} \cdot 3^{j}

= 3^{- k} \cdot \sum_{j = 0}^{k} \frac{3^{j}}{2^{j}}

Aber spätestens hier finde ich keinen Weg, wie ich das ganze weiter vereinfachen könnte, damit am Ende ein fester Wert herauskommt. Ich hoffe jemand von euch hat da eine Idee.

Danke schon mal im Voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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DrBoogie

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18:26 Uhr, 15.05.2016

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\sum_{j = 0}^{k} a^{j} = \frac{1 - a^{k + 1}}{1 - a}

.

Panni

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18:48 Uhr, 15.05.2016

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Vielen Dank für den Hinweis, nun habe ich also:

3^{- k} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{k + 1}}{1 - (\frac{3}{2})}

Wie mache ich jetzt am besten weiter?

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DrBoogie

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09:18 Uhr, 16.05.2016

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Als Differenz von zwei geometrischen Reihen schreiben.

Panni

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12:53 Uhr, 16.05.2016

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Vielen Dank, ich habe nun folgende (geometrischen) Reihen:

- 2 \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} 3^{- k} + 2 \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} {(\frac{9}{2})}^{k}

Wie bekomme ich diese nun aufgelöst? Da die Summen/Reihen ja bis unendlich laufen müsste mein

| q | < 1

sein, was hier ja nicht der Fall ist, damit

\sum_{k = o}^{\infty} q^{k} = \frac{1}{1 - q}

gilt.
Nun stehe ich wieder etwas auf dem Schlauch.

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DrBoogie

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13:04 Uhr, 16.05.2016

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"Vielen Dank, ich habe nun folgende (geometrischen) Reihen:"

Ne, da hast Du es falsch umgeformt, versuch's nochmal.

Panni

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14:17 Uhr, 16.05.2016

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Okay nächster Versuch, nun habe ich folgendes Ergebnis:

\sum_{k = 0}^{\infty} (3^{- k} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{k + 1}}{1 - (\frac{3}{2})})

= \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{3^{- k} - 3^{- k} \cdot {(\frac{3}{2})}^{k + 1}}{- \frac{1}{2}})

= \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{3^{- k} - 3^{- k} \cdot (\frac{3^{k + 1}}{2^{k + 1}})}{- \frac{1}{2}})

= \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{3^{- k} - (\frac{3}{2^{k + 1}})}{- \frac{1}{2}})

= \sum_{k = 0}^{\infty} (- 2 \cdot 3^{- k} + 2 \cdot (\frac{3}{2^{k + 1}}))

= \sum_{k = 0}^{\infty} (- 2 \cdot 3^{- k} + (\frac{3}{2^{k}}))

= - 2 \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} (3^{- k}) + 3 \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} ((\frac{1}{2^{k}}))

= - 2 \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} (3^{- k}) + 3 \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} ((2^{- k}))

Aber hier ist dann wieder das Problem, dass mein

q > 1

.

Wo mache ich hier was falsch?

Antwort

DrBoogie

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14:37 Uhr, 16.05.2016

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Wie kommst Du darauf, dass Dein

q > 1

?
Du hast einmal

q = 3^{- 1}

und einmal

q = 2^{- 1}

. Beide

< 1

.

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:40 Uhr, 16.05.2016

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Und das Ergebnis am Ende ist leicht zu kontrollieren, es muss

\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = 3

rauskommen.

Panni

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14:53 Uhr, 16.05.2016

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Also reicht es, wenn ich schreibe folgendes schreibe?

- 2 \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} (3^{- k}) + 3 \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} (2^{- k})

= - 2 \cdot (\frac{1}{1 - (\frac{1}{3})}) + 3 \cdot (\frac{1}{1 - (\frac{1}{2})}) = 3

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:54 Uhr, 16.05.2016

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Natürlich, das ist richtig.

Frage beantwortet

Panni

Panni aktiv_icon

15:05 Uhr, 16.05.2016

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Okay, nochmals vielen Dank für die Hilfe!

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