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Wert einer Reihe berechnen

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, reih, Wert

Helpneeder

22:48 Uhr, 01.12.2016

Hallo zusammen.
Ich soll den "Wert einer Reihe" berechnen und bin nicht ganz sicher, was das bedeuten soll.
Hier die Aufgabenstellung:

Berechne den Wert der Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} n \cdot q^{n}

für

q \in ℝ

mit

| q | < 1

Was genau ist zu tun und wie gehe ich heran?
Soll ich einfach einen "Wert ohne Summenzeichen" finden?

Dann würde ich als ersten Ansatz mal probieren, wie sich die Reihe mit "fortlaufenden n" so entwickelt:

0 + q + 2 q^{2} + 3 q^{3} + ...

.

Da

| q | < 1

würde ich davon ausgehen, dass die einzelnen Glieder immer kleiner werden.
Aber was nützt mir das? Bzw. was muss ich jetzt machen?

Roman-22

23:24 Uhr, 01.12.2016

Ist die Reihe sicher so gegeben, wie du sie hier anschreibst?
Falls ja könntest du einen ähnlichen Ansatz verwenden wie den, der üblicherweise zur Herleitung der Summenformel für geometrische Reihen benutz wird.

Bezeichne die gesuchte Summe mit

S

und bilde die Differenz

S - q \cdot S

. Du erhältst eine geom. Reihe, für die du ja sicher die Summmenformel kennst.

\to S = \frac{q}{{(1 - q)}^{2}}

ledum aktiv_icon

23:32 Uhr, 01.12.2016

Hallo

a)

du kannst differenzieren und die Funktion

f (x) = \frac{1}{1 - x} = \sum_{k = 0}^{\infty}

differenzieren, und siehst dass wenn du die Summe differenzierst das gerade fast deine summe gibt-

x \cdot f' (x)

dann deinen gesuchten Summenwert.

b)

du darfst nicht differenzieren, dann nenne die Summe bis

n

Sn subtrahiere q*Sn dann hast du Sn(1-q)=..
Gruß ledum

Helpneeder

00:13 Uhr, 02.12.2016

Öh - ich bin gerade ein bisschen zu blöd, um eure Antworten voll und ganz zu verstehen, sorry.
Aber das man da was mit der geometrischen Reihe machen könnte, ergibt Sinn.
Diese sieht doch so aus:

\sum_{n = 0}^{\infty} q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

Damit hätte ich sowas in der Art:

\sum_{n = 0}^{\infty} n \cdot q^{n} = 0 \cdot \frac{1 - q^{0 + 1}}{1 - q} + 1 \cdot \frac{1 - q^{1 + 1}}{1 - q} + 2 \cdot \frac{1 - q^{2 + 1}}{1 - q} + 3 \cdot \frac{1 - q^{3 + 1}}{1 - q} + ...

.

Hilft mir so jetzt aber auch noch nicht wirklich weiter.

"Bezeichne die gesuchte Summe mit

S

und bilde die Differenz S−q⋅S. Du erhältst eine geom. Reihe, für die du ja sicher die Summmenformel kennst."

Wie kann ich diese Differenz bilden, wenn ich das

S

doch erst suche?
Tut mir leid, wenn ich blöde Fragen stelle, aber ich verstehe gerade nicht ganz, was ihr mir versucht zu erklären.

ledum aktiv_icon

00:35 Uhr, 02.12.2016

Hallo

S = q + 2 q^{2} + 3 q^{3} + ... .

+ n \cdot q^{n} + (n + 1) \cdot q^{n + 1} + ...,

q \cdot S = q^{2} + 2 q^{3} + ... ... . . (n - 1) \cdot q^{n} + n \cdot q^{n + 1} + ... .

S - q \cdot S = q + q^{2} + q^{3} + ... + q^{n} + ...

.
wie seid ihr oder du denn auf die Summe über die geometrische Reihe gekommen?
und deine Summenformel ist falsch da steht kein

q^{n + 1}

wenn du bis

\infty

summierst!
und was du danach schreibst ist kompletter Quatsch
Gruß ledum

Helpneeder

01:48 Uhr, 02.12.2016

Stimmt, da habe ich mich gerade vertippt.
Bei der geometrischen Reihe geht es von

k = 0

bis

n,

nicht bis unendlich..
Wobei die sich wohl auch noch anders definieren lässt (wie

z . B

. in der Wikipedia)

Aber egal. Was nutzt mir nun diese Darstellung von

S - q \cdot S

in Bezug auf den Wert der Reihe (also

S)

ledum aktiv_icon

01:54 Uhr, 02.12.2016

Hallo
1. du hattest die Summe bis

\infty

hingeschrieben und dann

q^{n + 1}

2. kannst du das was

S (1 - q)

ist nicht berechnen? ich dachte du kennst die geometrische Reihe? wenn du das hast dann

S

selbst?
Gruß ledum

Helpneeder

02:11 Uhr, 02.12.2016

Nun ja, ich bin immer noch nicht sicher, ob ich verstehe, was du meinst.
So?

S - q \cdot S = \sum_{k = 0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

(Wobei da meinem Verständnis nach die Glieder

k > n

fehlen)

Und selbst, wenn das stimmt, habe ich keine Ahnung wie ich die Gleichung für

S

hinkriegen soll, außer vielleicht mit Rekursion:

S = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} + q \cdot S

Bummerang

03:26 Uhr, 02.12.2016

Hallo,

siehe www.onlinemathe.de/forum/Reihensumme-berechnen

Setze

f (x) = q \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}

und ermittle am Ende

f' (q)

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