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Wie Zahlen von 1 - 1000 finden die 9 Teiler haben?

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Analytische Zahlentheorie

Primzahlen

Teilbarkeit

Tags: Algebraische Zahlentheorie, Analytische Zahlentheorie, Primzahl, Teilbarkeit

sonnenschein11 aktiv_icon

22:51 Uhr, 02.11.2019

Ich muss alle Zahlen im Zahlenraum 1 bis

1000

herausschreiben, die genau 9 Teiler haben.
Wie gehe ich bei so einer Aufgabe vor?
In wiefern muss ich die Primfaktorzerlegung dafür verwenden?

Ich bin sehr dankbar für eure Ratschläge!!! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

HAL9000

22:56 Uhr, 02.11.2019

Du redest (wie meist üblich) nur von den positiven Teilern und deren Anzahl, oder?

Weißt du, wie man aus der Primfaktorzerlegung diese Teileranzahl bestimmen kann? Oder kurz gesagt: Kennst du die Teileranzahlfunktion?

sonnenschein11 aktiv_icon

23:06 Uhr, 02.11.2019

Ja genau, also ich meine wirklich nur die positiven, ganzen Zahlen, denn der betrachtete Zahlenraum wurde eingeschränkt auf die natürlichen Zahlen lN.

Und Ja also die Anzahl der Teiler ergibt sich nach folgender Formel:

(e 1 + 1) \cdot (e 2 + 1) \cdot ...

.
Sprich die Exponenten der Primfaktorzerlegung werden zunächst alle mit eins addiert und anschließend alle multipliziert.
Die Anzahl der Teiler ergibt sich dann durch das Produkt.

Aber ich weiß zum Beispiel nicht, wie ich konkret auf die Primfaktorzerlegung kommen kann...
Oder wie man vorgehen muss...

HAL9000

23:07 Uhr, 02.11.2019

Überlege dir, was der Wert

d (n) = 9

für Konsequenzen für die Primfaktorzerlegung von

n

hat, es gibt da nämlich prinzipiell nicht mehr viele Möglichkeiten (zwei Grobfälle).

Als Denkanstoß:

9 = 8 + 1

oder

9 = (2 + 1) \cdot (2 + 1)

sonnenschein11 aktiv_icon

11:42 Uhr, 03.11.2019

Ja also dieses

(2 + 1) \cdot (2 + 1) = 9

bedeutet ja, dass die Exponenten der Primfaktorzerlegung jeweils die 2 ist...
Und das die Primfaktorzerlegung nur aus zwei Produkten besteht oder?

Also sind die Zahlen von

1 - 1000

mit jeweils 9 Teilern quasi alles Produkte, die ich aus

a^{2} \cdot b^{2}

machen kann, oder?
Aber inwiefern hilft mir

9 = 8 + 1

?
Würde das bedeuten, dass ich nur eine Potenz habe mit

a^{8}

? Denn um die Teileranzahl zu bekommen würde ich dann ja wieder den Exponten um eins erhöhen oder?

HAL9000

11:55 Uhr, 03.11.2019

> Und das die Primfaktorzerlegung nur aus zwei Produkten besteht oder?

Richtig, d.h.

n = p^{2} q^{2}

mit zwei verschiedenen Primzahlen

p, q

ist EINE Möglichkeit.

> Würde das bedeuten, dass ich nur eine Potenz habe mit

a^{8}

?

So ist es:

n = p^{8}

mit einer Primzahl

p

ist die ANDERE Möglichkeit.

Bleibt zu prüfen, welche

p^{2} q^{2}

bzw.

p^{8}

nun kleiner oder gleich 1000 sind, die sollte man alle aufzählen (ist insgesamt nur eine einstellige Anzahl Lösungen).

Noch ein letzter Hinweis:

p^{2} q^{2} \leq 1000

bedeutet

p q \leq \sqrt{1000} \approx 31.6

, d.h.,

p q \leq 31

, das sollte das Aufzählen der möglichen

(p, q)

erleichtern.

sonnenschein11 aktiv_icon

12:02 Uhr, 04.11.2019

Super! Vielen Dank für deine Hilfe! :-)
Du hast mir sehr geholfen!

HAL9000

17:45 Uhr, 04.11.2019

Es wäre ein runder Abschluss des Threads gewesen, wenn du die acht Lösungen aufgezählt hättest. Na Ok, man kann nicht alles haben.

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