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Wie berechne ich Binomialkoeffizienten mit großen

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, Fakultät, Große Zahlen, ohne taschenrechner, Tipps

taucheranzug aktiv_icon

16:25 Uhr, 16.01.2019

Hallo liebe Mathe-Community,
in weniger als 1 Woche steht bei mir meine 1. Mathe Prüfung an der Hochschule an.
Momentan gehe ich einige Dinge durch und hänge beim Binomialkoeffizienten fest.

Bei folgenden Aufgaben habe ich Probleme die zu lösen:

100

über

99

und

100

über 2

Ich weiß einfach nicht wie ich derartig große Zahlen OHNE Taschenrechner schriftlich berechnen soll. Ich habe mich an der Formel

(n

über

k) = n \frac{!}{k}! (n - k)!

orientiert.

Ich weiß einfach nicht wie ich diese Aufgabe schriftlich berechnen soll, ohne 2 Blätter voll zu schreiben. Wenn ich normal die Fakultät ausrechne müsste ich ja

100 \cdot 99 \cdot 98 ... \cdot 1

machen, aber das kann ja nicht der effiztenteste Weg sein.

Ich freue mich auf eure Antworte und bedanke mich im Voraus für eure Hilfe.

Mit freundlichen Grüßen,

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

HAL9000

16:39 Uhr, 16.01.2019

Zunächst besteht die Symmetrie

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})

, die ist insbesondere für "große"

k

(d.h.

k > \frac{n}{2}

) nützlich.

Und für "kleine"

k

kann man dann

(\binom{n}{k}) = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)}{k!}

nutzen.

So ist beispielsweise

(\binom{100}{99}) = (\binom{100}{100 - 99}) = (\binom{100}{1}) = \frac{100}{1} = 100

(\binom{100}{2}) = \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950

taucheranzug aktiv_icon

16:59 Uhr, 16.01.2019

Das hat mir auf jeden Fall schonmal sehr weitergeholfen und ich habe es jetzt schon einigermaßen verstanden.

Aber wie ist das

z . b

mit

(\begin{matrix} 100 \\ 86 \end{matrix})

?
Hier ist

k > \frac{n}{2}

aber wenn ich das so versuche zu Lösen wie du es mir angegeben hast, müsste ich ja:

(\begin{matrix} 100 \\ 86 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 100 \\ 100 - 86 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 100 \\ 14 \end{matrix}) =

und dann?

Oder habe ich jetzt irgendwas missverstanden?

ledum aktiv_icon

18:45 Uhr, 16.01.2019

Hallo
ganz einfach: solche Binomialkoeffizienten kommen in einer Prüfung ohne TR nicht vor. oder dürfen stehen bleiben.
Gruß ledum

HAL9000

20:04 Uhr, 16.01.2019

Na wie ich geschrieben hatte:

(\binom{100}{14}) = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot \dots \cdot 87}{1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 14}

Den Nenner kannst du auf jeden Fall vollständig wegkürzen gegen geeignete Faktoren im Zähler, aber "von Hand" gerechnet bleibt immer noch ein ganz schöner Hammer übrig. Ich denke aber nicht, dass man das von euch fordert - du hast dir wohl nur aus Unkenntnis ein blödes Beispiel ausgedacht.

pivot aktiv_icon

20:38 Uhr, 16.01.2019

Ist das was du geschrieben hast die vollständige Aufgabe, einfach nur Binomialkoeffizienten ausrechnen?

Wenn der Binomialkoeffizient im Zusammenhanbg mit etwas anderem steht, dann könnte es eine Methode geben den Gesamtterm (auch mit größeren k) zu berechnen bzw. zu approximieren.

taucheranzug aktiv_icon

00:14 Uhr, 17.01.2019

Ja, pivot, das ist die vollständige Aufgabe.

ledum und Hal9000 haben recht. Ich habe mir aus Unkenntnis einfach nur ein doofes Beispiel ausgedacht. Ich dachte nämlich, dass es irgendeinen Trick geben würde auch solche Binomialkoeffizienten auszurechen, aber anscheinend lag ich da falsch. Ich hab das alles jetzt nachvollziehen können. Ihr habt mir sehr geholfen, dankeschön!

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