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Wie berechne ich den Wert der Reihe?

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Funktionenreihen

vanyb86 aktiv_icon

15:04 Uhr, 17.10.2009

Hallo,

Gegeben ist

\infty

Σ 2hoch

k + \frac{3}{3}

hoch

k

k = 0

wie gehe ich vor?

Ich habe überhaupt keine Ahnung

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

15:11 Uhr, 17.10.2009

Hallo Vanessa,

ich verstehe die Reihe so:

\sum_{k = 0}^{\infty} (2^{k} + \frac{3^{k}}{3})

.
Ihr Wert kann nicht bestimmt werden, da die Reihe nach dem Trivialkriterium NICHT konvergiert.

Mfg Michael

vanyb86 aktiv_icon

15:31 Uhr, 17.10.2009

Hallo,Michael danke für deine Antwort.
Kannst du mir vllt noch sagen warum sie die Reihe nach dem Trivialkriterium NICHT konvergiert?
Ich versteh das leider nicht.

Ich hoffe ich habe jetzt eine Aufgabe rausgesucht wo es klappt;-).
Falls ja könntest du es mir anhand dieser vielleicht erklären wie man das berechnet.

\infty

∑

2 k + 1 + 3

hoch

\frac{k}{6}

hoch

k + 1

K = 0

1000

Dank!

michaL aktiv_icon

15:42 Uhr, 17.10.2009

Hallo Vanessa,

ja, ich kann dir erklären, warum sie nicht konvergiert. Dazu müssten die Glieder der Reihe (also die einzelnen Summanden) gegen Null gehen.

2^{k}

wird beispielsweise aber immer größer und ist nicht einmal beschränkt, geschweige denn konvergent gegen Null.

Ist meine Interpretation der Aufgabe denn richtig, ich kann deinen Code nämlich so schwierig lesen. Auch bei der nächsten. Kannst du die mal so aufschreiben, dass keine Missverständnisse bleiben? Evtl. hilft eine Klammersetzung. Allerdings fürchte ich auch bei der, dass sie bestimmt divergiert.

Mfg Michael

PS: Den Wert einer Reihe zu bestimmen ist im Übrigen auch nicht einfach. Es gibt ein paar Standardsachen. Darüber hinausgehende Reihen sind meist Hand- und Kopfarbeit.

vanyb86 aktiv_icon

16:12 Uhr, 17.10.2009

Hallo Michael,

die Reihe ist nicht ganz richtig:
So wäre sie richtig.

00

∑k=(2^k+3)/3^k

k = 0

Wäre absr trotzdem das Gleiche oder?

Bei der nächsten geht es auch nicht oder?
Diese lautet so:

00

∑k=

(2^{k} + 1) - \frac{3^{k}}{6^{k} + 1}

k = 0

Aber bei dieser müsste es doch gehen oder?

00

∑k=

{(- 1)}^{k} \cdot (2^{k} (5^{k})

k = 4

hoffe das war jetzt nicht zu viel.

Wäre toll wenn du mir weitehelfen könntest.

michaL aktiv_icon

16:36 Uhr, 17.10.2009

Hallo Vanessa,

das ändert leider(?) alles bei der ersten Reihe.

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{2^{k} + 3}{3^{k}}

ist konvergent, was man z.b. mit dem Wurzelkriterium und einer kleinen Abschätzung überprüfen kann. Sicher geht auch das Quotientenkriterium.
Die Reihe ist sogar absolut konvergent, was ja nicht schwierig ist, da die Glieder ja alle nicht negativ sind.

In diesem Fall kann man den Wert der Reihe sehr einfach berechnen, da es sich um die Summe zweier geometrischer Reihen handelt. Von geometrischen Reihen kann man den Grenzwert eben einfach bestimmen:

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{2^{k} + 3}{3^{k}} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{2^{k}}{3^{k}} + \frac{3}{3^{k}}) = \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{2}{3})^{k} + 3 \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{1}{3})^{k}

Vielleicht kannst die Reihenwerte und damit den Reihengesamtwert bestimmen? Wenn nicht: de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Konvergenz_und_Wert_der_geometrischen_Reihe

Mfg Michael

PS: Wenn Unruhe wegen der Angabe von URLs fast ausschließlich von wikipedia eintritt, so möchte ich anmerken, dass ich bei einer Suchmaschine nach "geometrische Reihe" gesucht habe und (im Prinzip) den ersten (geeigneten) Treffer angegeben habe.

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