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Wie bestimme ich den Punkt in der Ebene?

Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe

Tags: eben, Koordinatenform, Parameterform, Punkt, Spurgerade, Vektor

anonymous

21:55 Uhr, 21.06.2016

Hallo,
es geht um eine Aufgabe die ich nicht so ganz nachvollziehen kann, naemlich im 2. Teil der Aufgabe 3. Damit ich diese Aufgabe bearbeiten kann, denke ich das ich die vorherigen Aufgaben dafuer benoetige, bin mir auch nicht sicher ob die ersten Aufgaben richtig sind.

Aufgabenstellung
Gegeben ist E:4x-4y-7z-36=0, A(7|5|5)

1. Zeigen Sie, dass der Punkt A nicht in der Ebene liegt und bestimmen Sie seinen Abstand von E.

E:4x-4y-7z=36
Wenn die Punkte eingesetzt werden kommt -27 raus, der Punkt liegt nicht in der Ebene.

Den Abstand berechne ich mit dem Lotfußverfahren und erhalte den Abstand 7.

2. Bestimmen Sie die Gleichung der Spurgeraden k der Ebene xy Ebene.

Koordinatenform stelle ich in die Parameterform um indem ich die Achsenabschnittspunkte berechne.
Entsprechend setze ich zur Berechnung von x, y und z gleich 0. Dies mache ich fuer die anderen Koordinaten ebenfalls und erhalte A(9|0|0), B(0|-9|0), C (0|0|-36\7)

Parameterform
E:x=(9|0|0)+r(-9|-9|0)+s(-9|0|-36\7)

Ansatz z=0
0=-36\7s
s=0

Einsetzung in die Gleichung von E

gk:x=(9|0|0)+r(-9|-9|0)+0(-9|0|-36\7)
gk:x=(9|0|0)+r(-9|-9|0)

3. Vom Punkt A faellt eine Kugel parallel zur z Achse auf die Ebene E und rollt dann auf kuerzestem Weg zur xy Ebene. Berechnen Sie die Koordinaten des Auftreffpunktes Q auf der Ebene E bzw. M in der xy Ebene.

h:x=(7|5|5)+r(0|0|-1)
E:4x-4y-7z-36=0
4x7-4x5-7x(5-1r)-36=0
28-20 -35+7r -36=0
-63+7r=0
7r=63
r=9

r in h
h:x=(7|5|5)+9(0|0|-1) Q(7|5|-4)

Nun weiss ich nicht wie ich Punkt M berechnen soll, ich waere sehr dankbar fuer Hilfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

Ebene Geometrie - Einführung
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

22:40 Uhr, 21.06.2016

1)

ist richtig.
Der Abstand ist nur leichter durch Einsetzen des Punktes in die HNF zu ermiteln:

d = | \frac{1}{9} \cdot [(\begin{matrix} 4 \\ - 4 \\ - 7 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 5 \\ 5 \end{matrix})] - 36] | = ... = 7

2)

ist auch richtig
Allerdings hast du hier unnötige Fleißaufgaben gemacht. Der Punkte

C

und die Parameterdarstellung der Ebene werden nicht benötigt. Die Spurpunkte A und

B

reichen doch aus, um die Geradengleichung anzugeben. Denn A und

B

liegen sowohl in der Ebene

E,

als auch in der xy-Ebene. Also liegen sie auf der gesuchten Geraden

k

.
Außerdem hättest du den Spurpunkt auf der x-Achse nicht A nennen sollen, denn es gibt ja in der Angabe bereits einen (anderen) Punkt A. Kannst die Spurpunkte ja

X, Y, Z

nennen.
Als Geradenvektor ist

\vec{X Y} = (\begin{matrix} - 9 \\ - 9 \\ 0 \end{matrix})

zwar richtig, aber wegen

(\begin{matrix} - 9 \\ - 9 \\ 0 \end{matrix}) = - 9 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

macht sich

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

besser.
Also

k : \vec{x} = (\begin{matrix} 9 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

3)

Der Punkt

Q

ist richtig, aber wieder hättest du ihn einfacher berechnen können. Seine

x -

und y-Koordinaten müssen ja mit denen vom Punkt A übereinstimmen. Setzte sie also in die gegebene Ebenengleichung ein und löse nach

z

auf:

4 \cdot 7 - 4 \cdot 5 - 7 \cdot z_{Q} = 36 \Rightarrow z_{Q} = 4

Dass die Kugel nun bergauf rollt, ist ein wenig seltsam, aber was solls. Dass die (punktförmige) Kugel natürlich auf der Spurgeraden

k

landet, weil das eben der Schnitt von

E

mit xy ist, sollte klar sein.
Auf kürzestem Weg bedeutet, dass die Bahn der Kugel in der Ebene

E

rechtwinkelig zu

k

verläuft. Würde die Kugel bergab rollen, würde man diese Bahne eine Fallgerade nennen. Schätze man sie auch so, wenn die Kugel hinauf rollt.
Du könntest den Punkt

M

jetzt zB so bestimmen, dass du eine Ebene

φ,

welche auf

k

normal steht und durch den Punkt

Q

geht, mit der Geraden

k

schneidest.

φ : (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) - (\begin{matrix} 7 \\ 5 \\ - 4 \end{matrix})] = 0

oder

φ : x + y = 12

Wenn du in diese Gleichung nun (stammend aus meiner obigen Gleichung für

k) x = 9 + r

und

y = r

einsetzt, kannst du

r

mit

r = 1,5

berechnen und aus der Gleichung von

k

ergibt sich damit

M (10,5 / 1,5 / 0)

R

anonymous

23:17 Uhr, 21.06.2016

Dankeschoen, also muss ich dafuer die Normalenform anwenden. Ich habe es wie folgt berechnet.

gk:x=(9|0|0)+r(-9|-9|0)

E:(x-(7|5|-4)) x (-9|-9|0)=0

(( 9-9r, -9r, 0) -(7|5|-4)) x (-9|-9|0) =0

162r+27 =0
r =-1\6

(9|0|0)-1\6(-9|-9|0)= (10,5|1,5|0)

Koennen Sie mir sagen wie sie auf die Normalenform gekommen sind und wieso in dieser Form der Richtungsvektor der Spurgeraden gewaehlt wird.

Vielen Dank fuer die Hilfe nochmal

Roman-22

23:24 Uhr, 21.06.2016

>

Koennen Sie mir sagen wie sie auf die Normalenform gekommen sind und wieso in dieser Form der Richtungsvektor der Spurgeraden gewaehlt wird.

Die Normalform jeder Ebenengleichung lautet doch

\vec{n} \cdot [\vec{x} - \vec{p}] = 0,

wobei

\vec{n}

ein Normalvektor der Ebene ist und

\vec{p}

ein Stützvektor, also der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene.

In der von mir oben als

φ

bezeichneten Ebene liegt der Punkt

Q

und deshalb wird sein Ortvektor als Stützvektor verwendet. Und da

φ

auf die Spurgerade

k

normal stehen soll (kürzester Weg), ist jeder Richtungsvektor von

k

ein Normalvektor von

φ

.
Du hast in deiner Rechnung deinen

(\begin{matrix} - 9 \\ - 9 \\ 0 \end{matrix})

verwendet und ich den einfacheren

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

. Das Ergebnis war natürlich da gleiche.

R

anonymous

16:19 Uhr, 22.06.2016

Noch kurz eine Alternative zurn "rollende-Kugel-Aufgabe":

Um einen Richtungsvektor der Fallgeraden zu erhalten, kannst Du einfach an beliebiger Stelle (zB vom Punkt, wo die Kugel auf die Ebene trifft) den Normalenvektor herausgehen, und von dort den in der Ebene senkrecht (z-Richtung) dadrunter liegenden Punkt bestimmen.

Du erhälst so zwei Punkte der Fallgeraden und kannst diese dann leicht bestimmen..

Bei Dir:

E : 4 x - 4 y - 7 z = 36

P (7 | 5 | - 4)

\vec{n} = (\begin{matrix} 4 \\ - 4 \\ - 7 \end{matrix})

\vec{p} + \vec{n} = (\begin{matrix} 11 \\ 1 \\ - 11 \end{matrix})

von hier nun "senkrecht", also parallel zur z-Achse zurück zur Ebene, also

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 11 \\ 1 \\ - 11 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

SP mit

E

4 \cdot 11 - 4 \cdot 1 - 7 (- 11 + r) = 36

\Leftrightarrow r = \frac{81}{7}

\Rightarrow S (11 | 1 | \frac{4}{7})

Der Vektor

\vec{P S} = (\begin{matrix} 4 \\ - 4 \\ \frac{32}{7} \end{matrix})

ist nun ein Richtungsvektor der Fallgeraden (und Du musst noch den SP der Fallgeraden mit der XY-Ebene bestimmen (ablesen).

Grüße

anonymous

21:18 Uhr, 22.06.2016

Super,danke! Ich hätte da noch eine andere frage und zwar, " zusammen mit den Ursprung O bilden die drei Punkte A,Q und M eine Pyramide. Wie kann ich auf zwei verschiedene arten, dass Volumen berechnen.

Die erste Art habe ich wie folgt berechnet:
V= 1/6|(a vektor x b vektor) x c vektor|

Vektorprodukt
(7|5|5)kreuzprodukt(7|5|-4)= (5x(-4)-5x5) (5x7-7x(-4)) (7x5-5x7) = = (45|63|0)

1/6x(-45|63|0)x(10.5|1.5|0)

(-45|63|0)x(10.5|1.5|0)
= -45x10.5+63x1.5=-378
1/6x-378= 63

Wie kann ich nun die zweite art bestimmen?
Ich weiß, dass man die fromel : A=1/3xhxG berechnet,doch wie kann ich H berechnen?

Roman-22

21:42 Uhr, 22.06.2016

Die Volumsberechnung als

\frac{1}{6}

jenes des Parallelepipeds, also mit dem Spatprodukt, wie von dir vorgezeigt, wäre auch für mich hier erste Wahl. Dein Ergebnis ist richtig, aber schon wieder missbrauchst du den Bezeichner A für etwas anderes als den gegebenen Punkt A.

Du hast dabei ja vier Möglichkeiten, deine drei Vektoren für das Spatprodukt zu wählen. Würde das als "Berechnung auf vier Arten" durchgehen? Vermutlich nicht.

Um die Formel mit Grundfläche und Höhe anwenden zu können, wählst du zuerst einmal drei von den vier Punkten als Basis, die die Grundfläche bilden sollen. Die Fläche dieses Dreiecks kannst du ja mit dem Betrag des halben Kreuzprodukts zweier Vektoren berechnen.

Die Höhe ist dann der Normalabstand des vierten Punktes ("Spitze") von der Ebene, die durch die drei gewählten Basispunkte festgelegt sind. Die Gleichung dieser Ebene ist leicht aufstellbar, denn von der Berechnung der Dreiecksfläche mit dem Vektorprodukt hast du ja schon einen Normalvektor der Ebene. Dann eben HNF und den Abstand des vierten Punktes berechnen.

R

P . S . :

Die freundlichsten Werte erhältst du, wenn du

O

als "Spitze" nimmst. Da ist

G = \frac{63}{4} \cdot \sqrt{2}

und

h = 6 \cdot \sqrt{2}

. Die Basisebene ist hier natürlich (wegen

A Q / /

z-Achse) erstprojizierend und die Rechnung gestaltet sich besonders einfach.
Unfreundlicher wird es, wenn du

Q

als Spitze nimmst. Da ist

G = \frac{9}{5} \cdot \sqrt{226}

und

h = \frac{42}{113} \cdot \sqrt{226}

Für die anderen beiden Möglichkeiten der Spitzenwahl gibts Ausdrücke mit

\sqrt{11}

und

\sqrt{74}

.
Aber natürlich stellt sich am Ende immer

A_{P y r a m i d e} = 63

ein.

1313838

1313693

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