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Wie bestimme ich die Lösung 3. Grades einer DGL?

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: DGL, Gewöhnliche Differentialgleichungen

sweetlady aktiv_icon

21:07 Uhr, 02.04.2013

hallo allersamt

ich habe eine Frage .

und zwar ich soll alle Lösungen ( Polynom 3. Grades ) einer DGL herausfinden.

die DGL : (1-x^2)*y"-x*y´+9y

das Polynom sollte diese Form annehmen

: a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

ich weiß mom nicht wie ich genau die aufgabe lösen soll

muss ich den gegebenen Ansatz ableiten und in der DGL einsetzen oder muss ich die DGL erst lösen und dann iwie das polynom

wie ein Störfunktion behandeln ?

bitte kann jmd mir da helfen ?

Lg

sweets

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

21:14 Uhr, 02.04.2013

die DGL : (1-x^2)*y"-x*y´+9y

ist keine Gleichung - es fehlt was!

sweetlady aktiv_icon

21:22 Uhr, 02.04.2013

oh sry

(1-x^2)*y"-x*y´+9y= 0

es ist eine DGL 2 Ordnung

pleindespoir aktiv_icon

21:34 Uhr, 02.04.2013

Es gehen beide Wege:

entweder die zu erwartende Lösungsfunktion ansetzen

oder das charkteristische Polynom bestimmen ( das mit dem Lambada ...) .

sweetlady aktiv_icon

21:44 Uhr, 02.04.2013

leite ich die den Ansatz ab und setze es iin der DGL dann

komme ich nicht weiter

y (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

\frac{d y}{d x} = 3 a \cdot x^{2} + 2 b \cdot x + c

\frac{d^{2} y}{d^{2} y} = 6 a \cdot x + 2 b

eingsetzt habe ich folgendes :

6 a = - 8 c

2 b = - 9 d

???

pleindespoir aktiv_icon

21:52 Uhr, 02.04.2013

Keinen Schimmer, wie Du auf diese "Einsetzwerte" gekommen bist!

Ich würde es so machen:

(1 - x^{2}) * y " - x * y ´ + 9 y = 0

angenommene Lösungsfunktion:

y = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

daher:

y ʹ = 3 a \cdot x^{2} + 2 b \cdot x + c

y ʺ = 6 a \cdot x + 2 b

diese in die DGL oben einbauen:

(1 - x^{2}) * (6 a \cdot x + 2 b) - x * (3 a \cdot x^{2} + 2 b \cdot x + c) + 9 (a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d) = 0

ausmultiplizieren, sortieren, hoffen dass man es lösen kann und im Hinterkopf behalten, dass dieser Ansatz eventuell nicht alle möglichen Lösungen berücksichtigt.

sweetlady aktiv_icon

22:07 Uhr, 02.04.2013

also ich fahre mit ein Koeffizientenvergleich

x^{3} \cdot (- 6 a - 3 a + 9 a) = 0

\Rightarrow 0 = 0

x^{2} \cdot (- 2 b - 2 b + 9 b) = 0

\Rightarrow 5 b = 0

x \cdot (6 a - c + 9 c) = 0

\Rightarrow 6 a = - 8 c

x^{0} \cdot (2 b + 9 d) = 0

\Rightarrow 2 b = - 9 d

so habe ich es gelöst es hört sich bestimmt komische an aber ich habe eine Blockade

... .

pleindespoir aktiv_icon

22:19 Uhr, 02.04.2013

Der Koeffizientenvergleich ist zur Lösung einer Polynomfunktion etwas ungeeignet - wie wäre es die Gleichung einfach wie üblich zu lösen ?

Nachdem die dritte Potenz Null ist, verbleibt eine quadratische Gleichung, oder ?

sweetlady aktiv_icon

22:30 Uhr, 02.04.2013

achso okay...

könntest du vllt bitte vormachen ?

lg

pleindespoir aktiv_icon

01:29 Uhr, 03.04.2013

Ich übernehme mal Deine Zwischenergebnisse ohne diese kontrolliert zu haben und mache damit weiter:

x^{3} \cdot (- 6 a - 3 a + 9 a) + x^{2} \cdot (- 2 b - 2 b + 9 b) + x \cdot (6 a - c + 9 c) + (2 b + 9 d) = 0

x^{3} \cdot (0) + x^{2} \cdot (- 2 b - 2 b + 9 b) + x \cdot (6 a - c + 9 c) + (2 b + 9 d) = 0

x^{2} \cdot (- 2 b - 2 b + 9 b) + x \cdot (6 a - c + 9 c) + (2 b + 9 d) = 0

x^{2} \cdot (5 b) + x \cdot (6 a + 8 c) + (2 b + 9 d) = 0

... wobei ich so langsam vermute, dass wir auf diesem Holzweg einem Achsenbruch entgegenholpern ...

pleindespoir aktiv_icon

01:41 Uhr, 03.04.2013

"das Polynom sollte diese Form annehmen :

a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

"

wer behauptet das eigentlich ?

Die Lösung dieser DGL ist wesentlich diffiziler und alles andere als ein Polynom 3.Grades.

Bitte prüfe nochmal die Angaben sowie die Aufgabenstellung!

pleindespoir aktiv_icon

01:58 Uhr, 03.04.2013

(1 - x^{2}) \cdot y " - x \cdot y ´ + 9 y = 0

die Maschine schlägt folgende Lösung vor:

y (x) = C_{1} \cdot \cosh (\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{x^{2} - 1}} \cdot 3 \arcsin (x)) + i C_{2} \cdot \sinh (\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot 3 \arcsin (x))

sweetlady aktiv_icon

10:35 Uhr, 03.04.2013

das wird in der Aufgabenstellung verlangt , dass die Lösung dieser DGL bzw das Polynom grad 3 haben soll

ja dass ist einwenig kompliziert deshalb kam ich hier

. .

pleindespoir aktiv_icon

05:15 Uhr, 04.04.2013

Die "maschinelle" LÖsung der Gleichung ergibt alles andere als eine Polynomfunktion. Diese DGL händisch zu lösen, erfordert ordentlich Erfahrung und Konzentration - das ist ganz sicher kein Schulstoff und auch für Uni ist das kein Standard.

Der Ansatz mit der Polynomfunktion funktioniert hier nicht, weil es kein Lösung dieser Form gibt.

Das ist so wie wenn man mit Äpfeln rechnet und Birnen rauskommen sollen.

Mich würde mal ernsthaft interessieren, wie diese Aufgabenstellung wirklich gemeint war bzw. ob da Übertragungsfehler oder sonstige Missverständnisse vorgekommen sind.

Also sobald Du die Musterlösung bekommen solltest, würde es mich freuen, wenn Du die mal hier reinstellst.

anonymous

06:20 Uhr, 04.04.2013

Sieht aus, als könne man den Vorschlag den du von der Maschine erhalten hast evtl. noch umformen. Mein CAS liefert mir da schon etwas besseres:

y (x) = \frac{C_{2} \cdot x \cdot (4 \cdot x^{2} - 3)}{4} + \frac{C_{3} \cdot \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1} \cdot (2 \cdot x - 1) \cdot (2 \cdot x + 1)}{4}

Für

C_{3} = 0

und beliebige

C_{2}

ergeben sich dann Polynomfunktionen dritten Grades als spezielle Lösungen:

y (x) = C_{2} \cdot (x^{3} - \frac{3}{4} x)

Edit:
Ich habe mir gerade die Zeit genommen und die Umformungen durchgeführt.
Die Parameter

C_{3}

und

C_{2}

der Lösung von meinem CAS entsprechen

- 4 \cdot i \cdot C_{1}

und

- 4 \cdot C_{2}

der maschinellen Lösung von pleindespoir.
Ich habe die Zwischenschritte, die ich mir notiert habe, mal als Bild angehängt. Allerdings habe ich da teils einige Schritte auf einmal durchgeführt, so dass es sein kann, dass die Umformungen evtl. nicht sofort verständlich erscheinen.
:Edit

Ohne PC habt ihr doch schon den richtigen Ansatz verfolgt:

Als Ansatz soll eine Polynomfunktion dritten Grades dienen:

y (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

y' (x) = 3 \cdot a \cdot x^{2} + 2 \cdot b \cdot x + c

y'' (x) = 6 \cdot a \cdot x + 2 \cdot b

Einsetzen:

(1 - x^{2}) \cdot y'' - x \cdot y' + 9 \cdot y = 0

(1 - x^{2}) \cdot (6 \cdot a \cdot x + 2 \cdot b) - x \cdot (3 \cdot a \cdot x^{2} + 2 \cdot b \cdot x + c) + 9 \cdot (a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d) = 0

6 \cdot a \cdot x + 2 \cdot b - 6 \cdot a \cdot x^{3} - 2 \cdot b \cdot x^{2} - 3 \cdot a \cdot x^{3} - 2 \cdot b \cdot x^{2} - c \cdot x + 9 \cdot a \cdot x^{3} + 9 \cdot b \cdot x^{2} + 9 \cdot c \cdot x + 9 \cdot d = 0

0 \cdot x^{3} + 5 \cdot b \cdot x^{2} + (6 \cdot a + 8 c) \cdot x + 2 \cdot b + 9 \cdot d = 0

Daraus ergibt sich das lineare Gleichungssystem mit den Gleichungen:

0 = 0

5 \cdot b = 0

6 \cdot a + 8 c = 0

2 \cdot b + 9 \cdot d = 0

Ich mache aus Gewohnheit mit Gauß weiter.

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 9 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Vertausche Zeilen:

(\begin{matrix} 6 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Multipliziere erste Zeile mit

\frac{1}{2}

und die zweite Zeile mit

\frac{1}{5} :

(\begin{matrix} 3 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Zur dritten Zeile addiere das

- 2

-fache der zweiten Zeile:

(\begin{matrix} 3 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Multipliziere die dritte Zeile mit

\frac{1}{9} :

(\begin{matrix} 3 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt;

a

kann frei gewählt werden.
Dann ergibt sich:

3 a + 4 c = 0 \Leftrightarrow c = - \frac{3}{4} \cdot a

b = 0

d = 0

Einsetzen:

y (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

y (x) = a \cdot x^{3} + 0 \cdot x^{2} - \frac{3}{4} \cdot a \cdot x + 0

y (x) = a \cdot (x^{3} - \frac{3}{4} \cdot x)

...

wobei a frei wählbar ist.

Damit erhält man auch die Lösungen, welche mein PC schon für

C_{3} = 0

vorausgesagt hat.

Wie pleindespoir allerdings schon in einem seiner Beiträge geschrieben hat, sind das nicht alle Lösungen der Differentialgleichung. Den Teil

...

\frac{C_{3} \cdot \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1} \cdot (2 \cdot x - 1) \cdot (2 \cdot x + 1)}{4}

...

erhält man so nicht.

sweetlady aktiv_icon

08:40 Uhr, 04.04.2013

Vielen vielen dank für euere HIlfe

ich wünsche euch einen schönen Tag

lg sweets

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